Номер 4, страница 139 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4. Дан закон распределения случайной величины X (табл. 54):

Таблица 54

X: 1, 3, 5, 8, 12

P: 0,125, 0,25, 0,25, 0,25, 0,125

Найдите значения $M(X)$, $M[X - M(X)]$, $M(5X)$:

A) 5,625; 0; 28,25;

B) 28,125; 5,65; 0;

C) 5,625; 0; 28,125;

D) 5,65; 0; 28,25.

Для решения задачи необходимо последовательно вычислить три значения: математическое ожидание $M(X)$, математическое ожидание отклонения $M[X - M(X)]$ и математическое ожидание $M(5X)$.

M(X)

Математическое ожидание $M(X)$ дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности по формуле:$M(X) = \sum x_i p_i$Подставим значения из таблицы распределения:$M(X) = 1 \cdot 0,125 + 3 \cdot 0,25 + 5 \cdot 0,25 + 8 \cdot 0,25 + 12 \cdot 0,125$$M(X) = 0,125 + 0,75 + 1,25 + 2,0 + 1,5$$M(X) = 5,625$

Ответ: $M(X) = 5,625$.

M[X - M(X)]

Это математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Для его нахождения воспользуемся свойствами математического ожидания.Одно из основных свойств математического ожидания гласит, что математическое ожидание отклонения случайной величины от её математического ожидания всегда равно нулю.Докажем это, используя свойство линейности $M(aX+b) = aM(X)+b$:$M[X - M(X)] = M(X) - M(M(X))$Поскольку $M(X)$ является константой (вычисленным числом 5,625), математическое ожидание константы равно самой константе: $M(M(X)) = M(X)$.Следовательно:$M[X - M(X)] = M(X) - M(X) = 0$

Ответ: $M[X - M(X)] = 0$.

M(5X)

Для вычисления этого значения воспользуемся свойством математического ожидания, согласно которому константу можно выносить за знак математического ожидания:$M(cX) = c \cdot M(X)$В нашем случае константа $c = 5$.$M(5X) = 5 \cdot M(X)$Так как мы уже нашли, что $M(X) = 5,625$, подставим это значение:$M(5X) = 5 \cdot 5,625 = 28,125$

Ответ: $M(5X) = 28,125$.

Итак, мы получили следующие значения: $M(X) = 5,625$; $M[X - M(X)] = 0$; $M(5X) = 28,125$.Сравнивая этот набор чисел с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту C.

Ответ: C) 5,625; 0; 28,125;