Номер 7, страница 139 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7. Законы распределения случайных величин X и Y заданы соответственно таблицами 57, 58:

Таблица 57

Таблица 58

Вычислите:

1) $M(3X - 4Y)$;

A) 7,5; 60,59;

C) 7,5; 139,33;

2) $D(2X + 3Y)$;

B) 2,3; 60,59;

D) 2,3; 139,33.

Для решения задачи необходимо вычислить математическое ожидание (M) и дисперсию (D) для каждой случайной величины, а затем использовать свойства этих характеристик.

Шаг 1: Вычисление M(X) и D(X) для случайной величины X.

Закон распределения X:

Математическое ожидание M(X) вычисляется по формуле $M(X) = \sum x_i p_i$:

$M(X) = 1 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,2 + 5 \cdot 0,3 + 7 \cdot 0,3 + 9 \cdot 0,1 = 0,1 + 0,6 + 1,5 + 2,1 + 0,9 = 5,2$.

Для вычисления дисперсии $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$ сначала найдем $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 1^2 \cdot 0,1 + 3^2 \cdot 0,2 + 5^2 \cdot 0,3 + 7^2 \cdot 0,3 + 9^2 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 1 \cdot 0,1 + 9 \cdot 0,2 + 25 \cdot 0,3 + 49 \cdot 0,3 + 81 \cdot 0,1 = 0,1 + 1,8 + 7,5 + 14,7 + 8,1 = 32,2$.

Теперь вычислим дисперсию D(X):

$D(X) = 32,2 - (5,2)^2 = 32,2 - 27,04 = 5,16$.

Шаг 2: Вычисление M(Y) и D(Y) для случайной величины Y.

Закон распределения Y:

Математическое ожидание M(Y) вычисляется по формуле $M(Y) = \sum y_i p_i$:

$M(Y) = 3 \cdot 0,1 + 5 \cdot 0,3 + 8 \cdot 0,3 + 12 \cdot 0,2 + 15 \cdot 0,1 = 0,3 + 1,5 + 2,4 + 2,4 + 1,5 = 8,1$.

Для вычисления дисперсии $D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2$ сначала найдем $M(Y^2)$:

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = 3^2 \cdot 0,1 + 5^2 \cdot 0,3 + 8^2 \cdot 0,3 + 12^2 \cdot 0,2 + 15^2 \cdot 0,1$

$M(Y^2) = 9 \cdot 0,1 + 25 \cdot 0,3 + 64 \cdot 0,3 + 144 \cdot 0,2 + 225 \cdot 0,1 = 0,9 + 7,5 + 19,2 + 28,8 + 22,5 = 78,9$.

Теперь вычислим дисперсию D(Y):

$D(Y) = 78,9 - (8,1)^2 = 78,9 - 65,61 = 13,29$.

1) M(3X – 4Y);

Используем свойство линейности математического ожидания: $M(aX + bY) = aM(X) + bM(Y)$.

$M(3X - 4Y) = 3M(X) - 4M(Y)$.

Подставляем ранее вычисленные значения $M(X)=5,2$ и $M(Y)=8,1$:

$M(3X - 4Y) = 3 \cdot 5,2 - 4 \cdot 8,1 = 15,6 - 32,4 = -16,8$.

(Примечание: полученный результат не совпадает ни с одним из предложенных вариантов ответа, что указывает на возможную опечатку в условии задачи или в вариантах ответов.)

Ответ: -16,8

2) D(2X + 3Y):

Для независимых случайных величин используется свойство дисперсии: $D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y)$. Предполагая, что X и Y независимы, получаем:

$D(2X + 3Y) = 2^2 D(X) + 3^2 D(Y) = 4D(X) + 9D(Y)$.

Подставляем ранее вычисленные значения $D(X)=5,16$ и $D(Y)=13,29$:

$D(2X + 3Y) = 4 \cdot 5,16 + 9 \cdot 13,29 = 20,64 + 119,61 = 140,25$.

(Примечание: полученный результат 140,25 близок к варианту ответа 139,33, разница может быть вызвана опечаткой в исходных данных.)

Ответ: 140,25