Номер 9, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9. Экзаменационные билеты состоят из трех вопросов. Вероятность ответа учащегося на любой вопрос равна 0,8. Случайная величина $X$ — это число вопросов, на которые может ответить учащийся. Составьте закон распределения этой величины (табл. 63—66):

Таблица 63

A) X 0 1 2 3

C) P 0,008 0,096 0,384 0,512

Таблица 64

B) X 0 1 2 3

D) p 0,512 0,096 0,384 0,008

Таблица 65

A) X 0 1 2 3

C) P 0,096 0,384 0,008 0,512

Таблица 66

B) X 0 1 2 3

D) p 0,384 0,008 0,512 0,096

Для решения задачи используется формула Бернулли, которая позволяет найти вероятность наступления события ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях. Формула имеет вид: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где:

$n$ – общее число испытаний (в данном случае, количество вопросов в билете), $n=3$.

$k$ – число наступления события (число правильных ответов).

$p$ – вероятность наступления события в одном испытании (вероятность правильного ответа на один вопрос), $p = 0,8$.

$q$ – вероятность ненаступления события (вероятность неправильного ответа), $q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2$.

$C_n^k$ – число сочетаний из $n$ по $k$, которое рассчитывается как $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Случайная величина $X$ – это число вопросов, на которые может ответить учащийся. $X$ может принимать значения {0, 1, 2, 3}. Рассчитаем вероятности для каждого из этих значений.

A) Вероятность того, что учащийся ответит на 0 вопросов ($X=0$):

Это означает, что он не ответил ни на один из трех вопросов.$P(X=0) = C_3^0 \cdot (0,8)^0 \cdot (0,2)^{3-0} = 1 \cdot 1 \cdot 0,2^3 = 0,008$.

B) Вероятность того, что учащийся ответит на 1 вопрос ($X=1$):

Это означает, что он ответил правильно на один вопрос и неправильно на два других.$P(X=1) = C_3^1 \cdot (0,8)^1 \cdot (0,2)^{3-1} = 3 \cdot 0,8 \cdot (0,2)^2 = 3 \cdot 0,8 \cdot 0,04 = 0,096$.

C) Вероятность того, что учащийся ответит на 2 вопроса ($X=2$):

Это означает, что он ответил правильно на два вопроса и неправильно на один.$P(X=2) = C_3^2 \cdot (0,8)^2 \cdot (0,2)^{3-2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} \cdot 0,64 \cdot 0,2 = 3 \cdot 0,64 \cdot 0,2 = 0,384$.

D) Вероятность того, что учащийся ответит на 3 вопроса ($X=3$):

Это означает, что он ответил правильно на все три вопроса.$P(X=3) = C_3^3 \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^{3-3} = 1 \cdot (0,8)^3 \cdot 1 = 0,512$.

Таким образом, закон распределения случайной величины $X$ имеет следующий вид:

X | 0 | 1 | 2 | 3

P | 0,008 | 0,096 | 0,384 | 0,512

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует Таблице 63.

Ответ: Таблица 63.