Номер 3, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3. Найдите значение выражения:

a) $\arccos(-1) - 5 \operatorname{arctg} 1 - \arcsin(-1);$

б) $\arcsin 1 + 6 \operatorname{arcctg} 1 - \arccos \left(-\frac{1}{2}\right);$

в) $\operatorname{arctg}(-1) - \operatorname{arcctg}(-1) - 6 \arccos 0;$

г) $\operatorname{arcctg} 1 \cdot \arccos 1 + \operatorname{arcctg} \sqrt{3} \cdot \arcsin 0;$

д) $\frac{6}{\pi}\left(\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\operatorname{arctg}\left(\sqrt{3}\right)\right);$

е) $-\frac{6}{\pi}\left(\operatorname{arctg} \sqrt{3}-\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right).$

а) $arccos(−1)−5 arctg(1)−arcsin(−1)$

Для решения найдем значения каждого из арк-функций:

$arccos(−1)$ — это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-1$. Этот угол равен $\pi$.

$arctg(1)$ — это угол из интервала $(−\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $1$. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$.

$arcsin(−1)$ — это угол из отрезка $[−\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-1$. Этот угол равен $−\frac{\pi}{2}$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$\pi - 5 \cdot \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi - \frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $4$:

$\frac{4\pi}{4} - \frac{5\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{4\pi - 5\pi + 2\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

б) $arcsin(1) + 6 arcctg(1) − arccos(−\frac{1}{2})$

Найдем значения каждой из арк-функций:

$arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$

$arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$

$arccos(−\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

Подставим значения в выражение:

$\frac{\pi}{2} + 6 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} = 2\pi - \frac{2\pi}{3}$

Приведем к общему знаменателю $3$:

$\frac{6\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$

Ответ: $\frac{4\pi}{3}$

в) $arctg(−1)−arcctg(−1)−6 arccos(0)$

Найдем значения каждой из арк-функций:

$arctg(−1) = -\frac{\pi}{4}$

$arcctg(−1) = \pi - arcctg(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

$arccos(0) = \frac{\pi}{2}$

Подставим значения в выражение:

$-\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} - 6 \cdot \frac{\pi}{2} = -\frac{4\pi}{4} - 3\pi = -\pi - 3\pi = -4\pi$

Ответ: $-4\pi$

г) $arcctg(1) \cdot arccos(1) + arcctg(\sqrt{3}) \cdot arcsin(0)$

Найдем значения каждой из арк-функций:

$arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$

$arccos(1) = 0$

$arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$

$arcsin(0) = 0$

Подставим значения в выражение:

$\frac{\pi}{4} \cdot 0 + \frac{\pi}{6} \cdot 0 = 0 + 0 = 0$

Ответ: $0$

д) $\frac{6}{\pi}(arccos(−\frac{\sqrt{3}}{2})+arcsin(−\frac{\sqrt{3}}{2})+arctg(\sqrt{3}))$

Воспользуемся тождеством $arcsin(x) + arccos(x) = \frac{\pi}{2}$.

Для $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеем $arccos(−\frac{\sqrt{3}}{2})+arcsin(−\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{2}$.

Найдем значение оставшейся функции:

$arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$

Подставим значения в выражение:

$\frac{6}{\pi}(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) = \frac{6}{\pi}(\frac{3\pi + 2\pi}{6}) = \frac{6}{\pi}(\frac{5\pi}{6}) = 5$

Ответ: $5$

е) $-\frac{6}{\pi}(arctg(\sqrt{3})−arcsin(−\frac{\sqrt{2}}{2})−arccos(−\frac{\sqrt{2}}{2}))$

Найдем значения каждой из арк-функций в скобках:

$arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$

$arcsin(−\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$

$arccos(−\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

Подставим значения в выражение в скобках:

$\frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{4}) - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2}$

Приведем к общему знаменателю $6$:

$\frac{2\pi - 3\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$

Теперь умножим полученный результат на коэффициент перед скобками:

$-\frac{6}{\pi} \cdot (-\frac{\pi}{6}) = 1$

Ответ: $1$