Номер 7, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7. Вычислите производную функции:

а) $f(x) = x^2 + 0.5 x;$

б) $f(x) = -3x^3 + 10x^2;$

в) $f(x) = x + 10\sqrt{x};$

г) $f(x) = \sin x - \cos x + 5;$

д) $f(x) = \frac{x^3}{x^3 + 1};$

е) $f(x) = \frac{x^4 - 1}{x^4 + 1}.$

а) $f(x) = x^2 + 0,5x$

Для нахождения производной суммы функций используем правило дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$. Также применяем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вынесения константы $(cf(x))' = c \cdot f'(x)$.

$f'(x) = (x^2 + 0,5x)' = (x^2)' + (0,5x)' = 2x^{2-1} + 0,5 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 2x + 0,5$.

Ответ: $f'(x) = 2x + 0,5$.

б) $f(x) = -3x^3 + 10x^2$

Используем те же правила, что и в пункте а): правило дифференцирования суммы, правило вынесения константы и формулу производной степенной функции.

$f'(x) = (-3x^3 + 10x^2)' = (-3x^3)' + (10x^2)' = -3 \cdot (x^3)' + 10 \cdot (x^2)' = -3 \cdot 3x^2 + 10 \cdot 2x = -9x^2 + 20x$.

Ответ: $f'(x) = -9x^2 + 20x$.

в) $f(x) = x + 10\sqrt{x}$

Представим корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Тогда функция примет вид $f(x) = x + 10x^{1/2}$.

Применяем правила дифференцирования:

$f'(x) = (x + 10x^{1/2})' = (x)' + (10x^{1/2})' = 1 + 10 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = 1 + 5x^{-1/2}$.

Возвращаемся к записи с корнем: $x^{-1/2} = \frac{1}{x^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Следовательно, $f'(x) = 1 + \frac{5}{\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = 1 + \frac{5}{\sqrt{x}}$.

г) $f(x) = \sin x - \cos x + 5$

Используем правило дифференцирования суммы/разности и производные тригонометрических функций и константы: $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(C)' = 0$.

$f'(x) = (\sin x - \cos x + 5)' = (\sin x)' - (\cos x)' + (5)' = \cos x - (-\sin x) + 0 = \cos x + \sin x$.

Ответ: $f'(x) = \cos x + \sin x$.

д) $f(x) = \frac{x^3}{x^3 + 1}$

Для нахождения производной частного используем формулу $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае $u = x^3$, $v = x^3 + 1$.

Находим производные числителя и знаменателя: $u' = (x^3)' = 3x^2$, $v' = (x^3 + 1)' = 3x^2$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{(x^3)'(x^3 + 1) - x^3(x^3 + 1)'}{(x^3 + 1)^2} = \frac{3x^2(x^3 + 1) - x^3(3x^2)}{(x^3 + 1)^2}$.

Упрощаем числитель:

$3x^2(x^3 + 1) - 3x^5 = 3x^5 + 3x^2 - 3x^5 = 3x^2$.

Таким образом, $f'(x) = \frac{3x^2}{(x^3 + 1)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3x^2}{(x^3 + 1)^2}$.

е) $f(x) = \frac{x^4 - 1}{x^4 + 1}$

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u = x^4 - 1$, $v = x^4 + 1$.

Производные числителя и знаменателя: $u' = (x^4 - 1)' = 4x^3$, $v' = (x^4 + 1)' = 4x^3$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{(4x^3)(x^4 + 1) - (x^4 - 1)(4x^3)}{(x^4 + 1)^2}$.

Выносим общий множитель $4x^3$ в числителе:

$f'(x) = \frac{4x^3((x^4 + 1) - (x^4 - 1))}{(x^4 + 1)^2} = \frac{4x^3(x^4 + 1 - x^4 + 1)}{(x^4 + 1)^2} = \frac{4x^3(2)}{(x^4 + 1)^2} = \frac{8x^3}{(x^4 + 1)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{8x^3}{(x^4 + 1)^2}$.