Номер 4, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4. Найдите предел функции $y = f(x)$ при $x \to x_0$:а) $f(x) = x^2 - 1, x \to 1;$б) $f(x) = \sin^2 x, x \to \frac{3\pi}{2};$В) $f(x) = \frac{x^2 - 7x + 6}{x - 6}, x \to 6;$Г) $f(x) = \frac{x^2 - 9x + 14}{x^2 - 49}, x \to 7.$

а) Требуется найти предел функции $f(x) = x^2 - 1$ при $x \to 1$.

Поскольку функция $f(x) = x^2 - 1$ является многочленом, она непрерывна на всей числовой оси. Для нахождения предела непрерывной функции в точке достаточно подставить значение этой точки в функцию.

$\lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.

Ответ: 0

б) Требуется найти предел функции $f(x) = \sin^2x$ при $x \to \frac{3\pi}{2}$.

Функция $f(x) = \sin^2x$ непрерывна на всей числовой оси. Поэтому предел функции при $x \to \frac{3\pi}{2}$ равен значению функции в этой точке.

$\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}} \sin^2x = \left(\sin\frac{3\pi}{2}\right)^2$.

Мы знаем, что значение синуса в точке $\frac{3\pi}{2}$ равно -1.

$\left(\sin\frac{3\pi}{2}\right)^2 = (-1)^2 = 1$.

Ответ: 1

в) Требуется найти предел функции $f(x) = \frac{x^2 - 7x + 6}{x - 6}$ при $x \to 6$.

При попытке прямой подстановки значения $x = 6$ в выражение мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

Числитель: $6^2 - 7 \cdot 6 + 6 = 36 - 42 + 6 = 0$.

Знаменатель: $6 - 6 = 0$.

Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант), корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.

Следовательно, квадратный трехчлен можно представить в виде: $x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6)$.

Теперь подставим это разложение в исходный предел и сократим дробь на множитель $(x - 6)$, поскольку при $x \to 6$ переменная $x$ не равна 6, а значит $x - 6 \ne 0$.

$\lim_{x \to 6} \frac{x^2 - 7x + 6}{x - 6} = \lim_{x \to 6} \frac{(x - 1)(x - 6)}{x - 6} = \lim_{x \to 6} (x - 1)$.

Теперь мы можем найти предел, подставив значение $x = 6$:

$\lim_{x \to 6} (x - 1) = 6 - 1 = 5$.

Ответ: 5

г) Требуется найти предел функции $f(x) = \frac{x^2 - 9x + 14}{x^2 - 49}$ при $x \to 7$.

Прямая подстановка значения $x = 7$ приводит к неопределенности вида $\frac{0}{0}$:

Числитель: $7^2 - 9 \cdot 7 + 14 = 49 - 63 + 14 = 0$.

Знаменатель: $7^2 - 49 = 49 - 49 = 0$.

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители.

Для числителя $x^2 - 9x + 14 = 0$, найдем корни. По теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = 7$. Таким образом, $x^2 - 9x + 14 = (x - 2)(x - 7)$.

Знаменатель $x^2 - 49$ является разностью квадратов: $x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$.

Подставим разложения в предел:

$\lim_{x \to 7} \frac{x^2 - 9x + 14}{x^2 - 49} = \lim_{x \to 7} \frac{(x - 2)(x - 7)}{(x - 7)(x + 7)}$.

Сократим общий множитель $(x - 7)$:

$\lim_{x \to 7} \frac{x - 2}{x + 7}$.

Теперь подставим предельное значение $x = 7$:

$\frac{7 - 2}{7 + 7} = \frac{5}{14}$.

Ответ: $\frac{5}{14}$