Номер 8, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8. Найдите значение производной функции $y = f(x)$ в заданных точках:

а) $f(x) = x^2 - 6x$; $x = 0;

б) $f(x) = x \cdot \operatorname{tg}x$; $x = \pi;

В) $f(x) = \frac{x}{x+1}$; $x = 2;

Г) $f(x) = \frac{x-1}{x}$; $x = -2.

9. Вычислите производную функ

а) Для того чтобы найти значение производной функции $f(x) = x^2 - 6x$ в точке $x = 0$, сначала найдем ее производную. Используя правила дифференцирования для степенной функции и разности функций, получаем:

$f'(x) = (x^2 - 6x)' = (x^2)' - (6x)' = 2x - 6$.

Теперь подставим значение $x = 0$ в найденное выражение для производной:

$f'(0) = 2 \cdot 0 - 6 = -6$.

Ответ: -6

б) Для функции $f(x) = x \cdot \operatorname{tg}x$ найдем производную, используя правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Пусть $u = x$ и $v = \operatorname{tg}x$. Тогда $u' = 1$ и $v' = (\operatorname{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2x}$.

Производная функции будет равна:

$f'(x) = (x)' \cdot \operatorname{tg}x + x \cdot (\operatorname{tg}x)' = 1 \cdot \operatorname{tg}x + x \cdot \frac{1}{\cos^2x} = \operatorname{tg}x + \frac{x}{\cos^2x}$.

Вычислим значение производной в точке $x = \pi$:

$f'(\pi) = \operatorname{tg}(\pi) + \frac{\pi}{\cos^2(\pi)}$.

Так как $\operatorname{tg}(\pi) = 0$ и $\cos(\pi) = -1$, то $\cos^2(\pi) = (-1)^2 = 1$.

Следовательно, $f'(\pi) = 0 + \frac{\pi}{1} = \pi$.

Ответ: $\pi$

в) Для функции $f(x) = \frac{x}{x+1}$ найдем производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u = x$ и $v = x+1$. Тогда $u' = 1$ и $v' = 1$.

Производная функции равна:

$f'(x) = \frac{(x)'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x = 2$:

$f'(2) = \frac{1}{(2+1)^2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$

г) Для функции $f(x) = \frac{x-1}{x}$ найдем производную. Можно упростить функцию перед дифференцированием: $f(x) = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = 1 - x^{-1}$.

Теперь найдем производную:

$f'(x) = (1 - x^{-1})' = (1)' - (x^{-1})' = 0 - (-1)x^{-2} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Найдем значение производной в точке $x = -2$:

$f'(-2) = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$