Номер 15, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

15. Найдите значение $f'(x_0)$, если:

а) $f(x) = (x^6 + x)^3 - 15$, $x_0 = 1$;

б) $f(x) = \text{tg}^{-1}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$, $x_0 = 0$;

в) $f(x) = \sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \cos x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

г) $f(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x^3$, $x_0 = 0$.

а) Дана функция $f(x) = (x^6 + x)^3 - 15$ и точка $x_0 = 1$.

Для нахождения значения производной $f'(x_0)$ сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$ и правило дифференцирования суммы.

$f'(x) = ((x^6 + x)^3 - 15)' = ((x^6 + x)^3)' - (15)' = 3(x^6 + x)^{2} \cdot (x^6 + x)' - 0 = 3(x^6 + x)^2 \cdot (6x^5 + 1)$.

Теперь подставим значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$f'(1) = 3(1^6 + 1)^2 \cdot (6 \cdot 1^5 + 1) = 3(1 + 1)^2 \cdot (6 + 1) = 3 \cdot 2^2 \cdot 7 = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$.

Ответ: 84

б) Дана функция $f(x) = \text{tg}^4(x - \frac{\pi}{3})$ и точка $x_0 = 0$.

Функция может быть записана как $f(x) = (\text{tg}(x - \frac{\pi}{3}))^4$. Найдем ее производную, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) несколько раз.

$f'(x) = 4(\text{tg}(x - \frac{\pi}{3}))^3 \cdot (\text{tg}(x - \frac{\pi}{3}))' = 4\text{tg}^3(x - \frac{\pi}{3}) \cdot \frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{3})} \cdot (x - \frac{\pi}{3})' = 4\text{tg}^3(x - \frac{\pi}{3}) \cdot \frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{3})}$.

Подставим значение $x_0 = 0$:

$f'(0) = 4\text{tg}^3(0 - \frac{\pi}{3}) \cdot \frac{1}{\cos^2(0 - \frac{\pi}{3})} = 4\text{tg}^3(-\frac{\pi}{3}) \cdot \frac{1}{\cos^2(-\frac{\pi}{3})}$.

Используем значения тригонометрических функций: $\text{tg}(-\frac{\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ и $\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

$f'(0) = 4(-\sqrt{3})^3 \cdot \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = 4(-3\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4(-3\sqrt{3}) \cdot 4 = -48\sqrt{3}$.

Ответ: $-48\sqrt{3}$

в) Дана функция $f(x) = \sin^2(x - \frac{\pi}{4}) + \cos x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Найдем производную функции как производную суммы двух слагаемых.

$f'(x) = (\sin^2(x - \frac{\pi}{4}))' + (\cos x)'$.

Для первого слагаемого используем цепное правило: $(\sin^2(u))' = 2\sin(u) \cdot (\sin u)' = 2\sin(u)\cos(u) \cdot u'$.

$(\sin^2(x - \frac{\pi}{4}))' = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})\cos(x - \frac{\pi}{4}) \cdot (x - \frac{\pi}{4})' = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})\cos(x - \frac{\pi}{4}) \cdot 1$.

Производная второго слагаемого: $(\cos x)' = -\sin x$.

Таким образом, $f'(x) = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})\cos(x - \frac{\pi}{4}) - \sin x$.

Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$f'(\frac{\pi}{4}) = 2\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4}) = 2\sin(0)\cos(0) - \sin(\frac{\pi}{4})$.

Зная, что $\sin(0) = 0$, $\cos(0) = 1$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot 0 \cdot 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

г) Дана функция $f(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x^3$ и точка $x_0 = 0$.

Найдем производную функции, дифференцируя каждое слагаемое по отдельности.

$f'(x) = (\sqrt{x^2 + 1})' - (x^3)'$.

Для первого слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции для корня: $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$.

$(\sqrt{x^2 + 1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (x^2 + 1)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

Производная второго слагаемого: $(x^3)' = 3x^2$.

Следовательно, $f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} - 3x^2$.

Теперь подставим значение $x_0 = 0$ в полученное выражение:

$f'(0) = \frac{0}{\sqrt{0^2 + 1}} - 3 \cdot 0^2 = \frac{0}{\sqrt{1}} - 0 = 0 - 0 = 0$.

Ответ: 0