Номер 16, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16. Найдите приближенное значение степени:

а) $(1,012)^3$;

б) $(1,005)^{10}$;

в) $(0,975)^4$;

г) $(3,027)^4$.

Для нахождения приближенного значения степени используется формула линейного приближения функции, которая является следствием определения производной. Для функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$ справедливо приближенное равенство:

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$

где $\Delta x$ — малое приращение аргумента.

В данном задании мы имеем дело со степенной функцией $f(x) = x^n$. Ее производная равна $f'(x) = nx^{n-1}$. Подставив эти выражения в общую формулу, получаем формулу для приближенного вычисления степени:

$(x_0 + \Delta x)^n \approx x_0^n + n x_0^{n-1} \Delta x$

В частном случае, когда $x_0=1$, формула значительно упрощается и совпадает с формулой биномиального приближения:

$(1 + \Delta x)^n \approx 1 + n \Delta x$

Воспользуемся этими формулами для решения каждого пункта.

а) Найдём приближенное значение $(1,012)^3$.

Представим основание степени как $1,012 = 1 + 0,012$. Тогда выражение примет вид $(1 + 0,012)^3$.

Применим формулу $(1 + \Delta x)^n \approx 1 + n \Delta x$, где $\Delta x = 0,012$ и $n = 3$.

$(1,012)^3 \approx 1 + 3 \cdot 0,012 = 1 + 0,036 = 1,036$.

Ответ: $1,036$.

б) Найдём приближенное значение $(1,005)^{10}$.

Представим основание степени как $1,005 = 1 + 0,005$. Тогда выражение примет вид $(1 + 0,005)^{10}$.

Используем формулу $(1 + \Delta x)^n \approx 1 + n \Delta x$, где $\Delta x = 0,005$ и $n = 10$.

$(1,005)^{10} \approx 1 + 10 \cdot 0,005 = 1 + 0,05 = 1,05$.

Ответ: $1,05$.

в) Найдём приближенное значение $(0,975)^4$.

Представим основание степени как $0,975 = 1 - 0,025$. Тогда выражение примет вид $(1 - 0,025)^4$.

Применим формулу $(1 + \Delta x)^n \approx 1 + n \Delta x$, где $\Delta x = -0,025$ и $n = 4$.

$(0,975)^4 \approx 1 + 4 \cdot (-0,025) = 1 - 0,1 = 0,9$.

Ответ: $0,9$.

г) Найдём приближенное значение $(3,027)^4$.

В этом случае основание степени не близко к единице, поэтому используем общую формулу $(x_0 + \Delta x)^n \approx x_0^n + n x_0^{n-1} \Delta x$.

Представим основание как $3,027 = 3 + 0,027$.

Выберем $x_0 = 3$, $\Delta x = 0,027$ и $n = 4$.

Вычислим первое слагаемое $x_0^n$:

$x_0^n = 3^4 = 81$.

Вычислим второе слагаемое (поправку) $n x_0^{n-1} \Delta x$:

$n x_0^{n-1} \Delta x = 4 \cdot 3^{4-1} \cdot 0,027 = 4 \cdot 3^3 \cdot 0,027 = 4 \cdot 27 \cdot 0,027 = 108 \cdot 0,027$.

Произведем умножение: $108 \cdot 0,027 = 2,916$.

Сложим полученные значения, чтобы найти приближенное значение степени:

$(3,027)^4 \approx 81 + 2,916 = 83,916$.

Ответ: $83,916$.