Номер 23, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите уравнения (23–27):

23. a) $cos5x \cdot tgx = 0;$

б) $sin3x \cdot tgx = 0;$

в) $2sin(\frac{\pi}{2}-x) - \sqrt{3} = 0;$

г) $3ctg(\frac{\pi}{2}+x) - \sqrt{3} = 0.$

a) Решим уравнение $\cos(5x) \cdot \tan(x) = 0$.

Данное уравнение равносильно системе, в которой произведение равно нулю, а также учтена область допустимых значений (ОДЗ) для тангенса:

$\begin{cases} \cos(5x) = 0 \text{ или } \tan(x) = 0 \\ \cos(x) \neq 0 \end{cases}$

ОДЗ: $\cos(x) \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая из совокупности уравнений:

1) $\tan(x) = 0$. Решением этого уравнения является серия корней $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Проверим, удовлетворяют ли эти корни ОДЗ. $\cos(\pi n) = (-1)^n$. Поскольку $(-1)^n$ никогда не равно нулю, все корни этой серии подходят.

2) $\cos(5x) = 0$. Решением этого уравнения является серия корней $5x = \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Отсюда $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$. Теперь необходимо проверить эти корни на соответствие ОДЗ. Исключим те значения $m$, для которых $x$ совпадает с запрещенными значениями $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

$\frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5} = \frac{\pi}{2} + \pi k$

Разделим обе части на $\pi$: $\frac{1}{10} + \frac{m}{5} = \frac{1}{2} + k$.

Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от дробей: $1 + 2m = 5 + 10k$.

$2m = 4 + 10k$.

$m = 2 + 5k$.

Это означает, что мы должны исключить из серии $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$ все корни, для которых $m$ имеет вид $2 + 5k$, где $k$ — любое целое число.

Объединяя все найденные и проверенные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}, m \in \mathbb{Z}, m \neq 2 + 5k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $\sin(3x) \cdot \tan(x) = 0$.

Уравнение эквивалентно системе:

$\begin{cases} \sin(3x) = 0 \text{ или } \tan(x) = 0 \\ \cos(x) \neq 0 \end{cases}$

ОДЗ: $\cos(x) \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим совокупность уравнений:

1) $\tan(x) = 0 \implies x = \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin(3x) = 0 \implies 3x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Обратим внимание, что первая серия корней ($x = \pi m$) является подмножеством второй серии ($x = \frac{\pi n}{3}$ при $n=3m$). Следовательно, общим решением совокупности является $x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Теперь проверим эти решения на соответствие ОДЗ. Нам нужно выяснить, существуют ли такие целые $n$ и $k$, при которых корень из нашей серии совпадает с запрещенным значением.

$\frac{\pi n}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k$

$\frac{n}{3} = \frac{1}{2} + k$

$2n = 3 + 6k$

В левой части этого равенства стоит четное число ($2n$), а в правой — нечетное ($3 + 6k = 3(1+2k)$). Равенство между четным и нечетным числом невозможно. Это означает, что ни один из найденных корней не противоречит ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $2\sin(\frac{\pi}{2} - x) - \sqrt{3} = 0$.

Для упрощения уравнения воспользуемся формулой приведения: $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$.

Уравнение преобразуется к виду: $2\cos(x) - \sqrt{3} = 0$.

Выразим отсюда $\cos(x)$:

$2\cos(x) = \sqrt{3}$

$\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для него находится по формуле $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$.

$x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $3\cot(\frac{\pi}{2} + x) - \sqrt{3} = 0$.

Применим формулу приведения для котангенса: $\cot(\frac{\pi}{2} + x) = -\tan(x)$. ОДЗ исходного уравнения: $\sin(\frac{\pi}{2}+x) \neq 0$, что эквивалентно $\cos(x) \neq 0$.

Подставив в уравнение, получим:

$3(-\tan(x)) - \sqrt{3} = 0$

$-3\tan(x) = \sqrt{3}$

Выразим $\tan(x)$:

$\tan(x) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. ОДЗ для $\tan(x)$ ($\cos(x) \neq 0$) совпадает с ОДЗ исходного уравнения. Решение находится по формуле $x = \arctan(a) + \pi n$.

$x = \arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:

$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Данные решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.