Номер 24, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

24. a) $cos5x = cos3x;$

б) $sin5x = sin3x;$

b) $sin6x + sin2x = sin4x;$

г) $cos2x - sin4x = 0.$

а)

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ \cos{5x} - \cos{3x} = 0 $

Воспользуемся формулой разности косинусов $ \cos{\alpha} - \cos{\beta} = -2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} $:

$ -2\sin{\frac{5x+3x}{2}}\sin{\frac{5x-3x}{2}} = 0 $

$ -2\sin{4x}\sin{x} = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $ \sin{4x} = 0 $

$ 4x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi k}{4} $, где $ k \in \mathbb{Z} $

2) $ \sin{x} = 0 $

$ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Заметим, что вторая серия решений $ x = \pi n $ является подмножеством первой серии $ x = \frac{\pi k}{4} $ (это достигается при $ k=4n $). Следовательно, все решения можно описать одной, более общей, формулой.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{4} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б)

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ \sin{5x} - \sin{3x} = 0 $

Воспользуемся формулой разности синусов $ \sin{\alpha} - \sin{\beta} = 2\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}} $:

$ 2\sin{\frac{5x-3x}{2}}\cos{\frac{5x+3x}{2}} = 0 $

$ 2\sin{x}\cos{4x} = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $ \sin{x} = 0 $

$ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

2) $ \cos{4x} = 0 $

$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Эти две серии решений являются независимыми.

Ответ: $ x = \pi k $; $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

в)

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ \sin{6x} + \sin{2x} - \sin{4x} = 0 $

Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы синусов $ \sin{\alpha} + \sin{\beta} = 2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}} $:

$ \left(\sin{6x} + \sin{2x}\right) - \sin{4x} = 0 $

$ 2\sin{\frac{6x+2x}{2}}\cos{\frac{6x-2x}{2}} - \sin{4x} = 0 $

$ 2\sin{4x}\cos{2x} - \sin{4x} = 0 $

Вынесем общий множитель $ \sin{4x} $ за скобки:

$ \sin{4x}(2\cos{2x} - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $ \sin{4x} = 0 $

$ 4x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi k}{4} $, где $ k \in \mathbb{Z} $

2) $ 2\cos{2x} - 1 = 0 $

$ \cos{2x} = \frac{1}{2} $

$ 2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{4} $; $ x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

г)

Исходное уравнение: $ \cos{2x} - \sin{4x} = 0 $.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $ \sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} $. В данном случае $ \sin{4x} = 2\sin{2x}\cos{2x} $.

Подставим это выражение в уравнение:

$ \cos{2x} - 2\sin{2x}\cos{2x} = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos{2x} $ за скобки:

$ \cos{2x}(1 - 2\sin{2x}) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $ \cos{2x} = 0 $

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $

2) $ 1 - 2\sin{2x} = 0 $

$ \sin{2x} = \frac{1}{2} $

Общее решение для этого уравнения имеет вид: $ 2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Отсюда $ x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $; $ x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.