Номер 26, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

26. a) $tgx - 3ctgx = 0;$

б) $2 - sinx = 2cos^2x;$

в) $sin2x = 2\sqrt{3} sin^2x;$

г) $cos^2x + 3sin^2x - 3 = 0.$

а) Исходное уравнение: $tgx - 3ctgx = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \ne \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$, так как и тангенс, и котангенс должны быть определены и не равны нулю.

Выразим $ctgx$ через $tgx$ с помощью тождества $ctgx = \frac{1}{tgx}$:

$tgx - \frac{3}{tgx} = 0$

Умножим обе части уравнения на $tgx$, поскольку из ОДЗ следует, что $tgx \ne 0$:

$tg^2x - 3 = 0$

$tg^2x = 3$

Из этого следует, что $tgx = \sqrt{3}$ или $tgx = -\sqrt{3}$.

1) Если $tgx = \sqrt{3}$, то $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$.

2) Если $tgx = -\sqrt{3}$, то $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z$.

Эти две серии решений можно объединить в одну формулу. Полученные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$.

в) Исходное уравнение: $sin2x = 2\sqrt{3}sin^2x$.

Применим формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinxcosx$:

$2sinxcosx = 2\sqrt{3}sin^2x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$2sinxcosx - 2\sqrt{3}sin^2x = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $2sinx$:

$2sinx(cosx - \sqrt{3}sinx) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $sinx = 0$. Отсюда $x = \pi n, n \in Z$.

2) $cosx - \sqrt{3}sinx = 0$. Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Так как $cosx$ и $sinx$ не могут быть равны нулю одновременно, мы можем разделить обе части на $cosx \ne 0$:

$1 - \sqrt{3}tgx = 0$

$tgx = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Отсюда $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = \pi n, n \in Z$; $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.

б) Исходное уравнение: $2 - sinx = 2cos^2x$.

Используем основное тригонометрическое тождество $cos^2x = 1 - sin^2x$, чтобы привести уравнение к переменной $sinx$:

$2 - sinx = 2(1 - sin^2x)$

$2 - sinx = 2 - 2sin^2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$2sin^2x - sinx = 0$

Вынесем $sinx$ за скобки:

$sinx(2sinx - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $sinx = 0$. Отсюда $x = \pi n, n \in Z$.

2) $2sinx - 1 = 0$, то есть $sinx = \frac{1}{2}$. Отсюда $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = \pi n, n \in Z$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.

г) Исходное уравнение: $cos^2x + 3sin^2x - 3 = 0$.

Приведем уравнение к одной тригонометрической функции, используя тождество $cos^2x = 1 - sin^2x$:

$(1 - sin^2x) + 3sin^2x - 3 = 0$

Упростим выражение:

$2sin^2x - 2 = 0$

$2sin^2x = 2$

$sin^2x = 1$

Это уравнение распадается на два:

1) $sinx = 1$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$.

2) $sinx = -1$, откуда $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in Z$.

Эти две серии корней описывают точки, в которых $cosx=0$, и их можно объединить в одну общую формулу.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.