Номер 32, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите неравенства (32–36):

32. a) $sin2x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \le \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $tg\left(x + \frac{\pi}{4}\right) > 1$;

г) $ctg\left(\frac{\pi}{4} + x\right) < 1$.

а)

Решим неравенство $ \sin(2x) \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 2x $. Неравенство примет вид $ \sin(t) \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Найдем на единичной окружности точки, для которых ордината (синус) больше или равна $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Сначала решим уравнение $ \sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Корнями этого уравнения являются $ t = \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} $ и $ t = \pi - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3} $.

Решением неравенства $ \sin(t) \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} $ будет промежуток, который начинается от угла $ -\frac{\pi}{3} $ и идет против часовой стрелки до угла $ \frac{4\pi}{3} $.

Таким образом, с учетом периодичности синуса, решение для $t$ имеет вид: $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $ t = 2x $:

$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le 2x \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k $

Разделим все части двойного неравенства на 2:

$ -\frac{\pi}{6} + \pi k \le x \le \frac{2\pi}{3} + \pi k $

Ответ: $ x \in [-\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k], k \in \mathbb{Z} $.

б)

Решим неравенство $ \cos(x - \frac{\pi}{3}) \le \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x - \frac{\pi}{3}$. Неравенство примет вид $ \cos(t) \le \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Найдем на единичной окружности точки, для которых абсцисса (косинус) меньше или равна $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Сначала решим уравнение $ \cos(t) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Корнями этого уравнения являются $ t = \frac{\pi}{4} $ и $ t = -\frac{\pi}{4} $.

Решением неравенства $ \cos(t) \le \frac{\sqrt{2}}{2} $ будет дуга окружности, которая начинается от угла $ \frac{\pi}{4} $ и идет против часовой стрелки до угла $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} $.

Таким образом, с учетом периодичности косинуса, решение для $t$ имеет вид: $ \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $ t = x - \frac{\pi}{3} $:

$ \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{3} \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi k $

Прибавим $ \frac{\pi}{3} $ ко всем частям двойного неравенства:

$ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k $

$ \frac{3\pi + 4\pi}{12} + 2\pi k \le x \le \frac{21\pi + 4\pi}{12} + 2\pi k $

$ \frac{7\pi}{12} + 2\pi k \le x \le \frac{25\pi}{12} + 2\pi k $

Ответ: $ x \in [\frac{7\pi}{12} + 2\pi k, \frac{25\pi}{12} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} $.

в)

Решим неравенство $ \tg(x + \frac{\pi}{4}) > 1 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x + \frac{\pi}{4}$. Неравенство примет вид $ \tg(t) > 1 $.

Функция тангенса имеет период $ \pi $. Решим неравенство на одном периоде, например, на интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.

Найдем значение $t$, для которого $ \tg(t) = 1 $. В указанном интервале это $ t = \frac{\pi}{4} $.

Функция $ y = \tg(t) $ возрастает на интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $. Следовательно, неравенство $ \tg(t) > 1 $ выполняется при $ \frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{2} $.

Учитывая периодичность тангенса, общее решение для $t$ будет:

$ \frac{\pi}{4} + \pi k < t < \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $ t = x + \frac{\pi}{4} $:

$ \frac{\pi}{4} + \pi k < x + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + \pi k $

Вычтем $ \frac{\pi}{4} $ из всех частей двойного неравенства:

$ \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi k $

$ \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k $

Ответ: $ x \in (\pi k, \frac{\pi}{4} + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

г)

Решим неравенство $ \ctg(\frac{\pi}{4} + x) < 1 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \frac{\pi}{4} + x$. Неравенство примет вид $ \ctg(t) < 1 $.

Функция котангенса имеет период $ \pi $. Решим неравенство на одном периоде, например, на интервале $ (0, \pi) $.

Найдем значение $t$, для которого $ \ctg(t) = 1 $. В указанном интервале это $ t = \frac{\pi}{4} $.

Функция $ y = \ctg(t) $ убывает на интервале $ (0, \pi) $. Следовательно, неравенство $ \ctg(t) < 1 $ выполняется при $ \frac{\pi}{4} < t < \pi $.

Учитывая периодичность котангенса, общее решение для $t$ будет:

$ \frac{\pi}{4} + \pi k < t < \pi + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $ t = \frac{\pi}{4} + x $:

$ \frac{\pi}{4} + \pi k < \frac{\pi}{4} + x < \pi + \pi k $

Вычтем $ \frac{\pi}{4} $ из всех частей двойного неравенства:

$ \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi k < x < \pi - \frac{\pi}{4} + \pi k $

$ \pi k < x < \frac{3\pi}{4} + \pi k $

Ответ: $ x \in (\pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.