Номер 28, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите уравнение $f'(x) = 0$ (28—31):

28. a) $f(x) = x^2 + 2x;$

б) $f(x) = x - x^2;$

в) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2,5x^2 + 6x;$

г) $f(x) = 3x^3 - 15x^2 + 25x.$

а) Дана функция $f(x) = x^2 + 2x$. Для решения уравнения $f'(x) = 0$ сначала необходимо найти производную функции $f(x)$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования суммы, получаем:

$f'(x) = (x^2 + 2x)' = (x^2)' + (2x)' = 2x^{2-1} + 2x^{1-1} = 2x + 2$.

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$2x + 2 = 0$

$2x = -2$

$x = -1$.

Ответ: $x = -1$.

б) Дана функция $f(x) = x - x^2$.

Находим ее производную:

$f'(x) = (x - x^2)' = (x)' - (x^2)' = 1 - 2x$.

Приравниваем производную к нулю:

$1 - 2x = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$ или $x = 0.5$.

Ответ: $x = 0.5$.

в) Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2,5x^2 + 6x$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 2,5x^2 + 6x)' = (\frac{1}{3}x^3)' - (2,5x^2)' + (6x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2,5 \cdot 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$x^2 - 5x + 6 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}$.

$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 3$.

г) Дана функция $f(x) = 3x^3 - 15x^2 + 25x$.

Найдем ее производную:

$f'(x) = (3x^3 - 15x^2 + 25x)' = (3x^3)' - (15x^2)' + (25x)' = 3 \cdot 3x^2 - 15 \cdot 2x + 25 = 9x^2 - 30x + 25$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$9x^2 - 30x + 25 = 0$.

Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$9x^2 - 30x + 25 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 5 + 5^2 = (3x-5)^2$.

Уравнение принимает вид:

$(3x - 5)^2 = 0$

$3x - 5 = 0$

$3x = 5$

$x = \frac{5}{3}$.

Ответ: $x = \frac{5}{3}$.