Номер 31, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

31. a) f(x) = \operatorname{tg}x - x$;

б) $f(x) = x + \operatorname{ctg}x$.

а) Для исследования функции $f(x) = \tg x - x$ на монотонность и экстремумы, найдем ее область определения и производную.

Область определения $D(f)$ определяется условием существования тангенса, то есть $\cos x \neq 0$, откуда $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (\tg x - x)' = (\tg x)' - (x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$. Используя тригонометрическое тождество $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tg^2 x$, преобразуем производную: $f'(x) = (1 + \tg^2 x) - 1 = \tg^2 x$.

Проанализируем знак производной. Поскольку $f'(x) = \tg^2 x$ является квадратом вещественного числа, ее значение всегда неотрицательно: $f'(x) \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что функция является возрастающей на каждом интервале своей области определения. Интервалы имеют вид $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$ для любого целого $k$.

Точки экстремума могут существовать там, где производная равна нулю и меняет свой знак. Производная $f'(x) = \tg^2 x$ равна нулю при $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Однако, поскольку $\tg^2 x$ не меняет знак (остается неотрицательной) при переходе через эти точки, они не являются точками экстремума. Таким образом, у функции нет точек локального максимума или минимума.

Ответ: функция возрастает на каждом из интервалов $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$; точек экстремума нет.

б) Для исследования функции $f(x) = x + \ctg x$ на монотонность и экстремумы, найдем ее область определения и производную.

Область определения $D(f)$ определяется условием существования котангенса, то есть $\sin x \neq 0$, откуда $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x + \ctg x)' = (x)' + (\ctg x)' = 1 - \frac{1}{\sin^2 x}$. Приводя выражение к общему знаменателю, получаем: $f'(x) = \frac{\sin^2 x - 1}{\sin^2 x} = \frac{-\cos^2 x}{\sin^2 x} = -\ctg^2 x$.

Проанализируем знак производной. Поскольку $\ctg^2 x \ge 0$, то $f'(x) = -\ctg^2 x$ всегда неположительна: $f'(x) \le 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что функция является убывающей на каждом интервале своей области определения. Интервалы имеют вид $(\pi k, \pi(k+1))$ для любого целого $k$.

Производная $f'(x) = -\ctg^2 x$ равна нулю при $\ctg x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Так как $\ctg^2 x$ не меняет знак (остается неотрицательной), то и $-\ctg^2 x$ не меняет знак (остается неположительной) при переходе через эти точки. Следовательно, они не являются точками экстремума. Таким образом, у функции нет точек локального максимума или минимума.

Ответ: функция убывает на каждом из интервалов $(\pi k, \pi(k+1))$, $k \in \mathbb{Z}$; точек экстремума нет.