Номер 25, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

25. a) $tg^2x - 3tgx + 2 = 0;$

В) $3cos^2x - 5cosx + 2 = 0;$

б) $2sin^2x - 3sinx + 1 = 0;$

г) $4ctg^2x - 6ctgx + 2 = 0.$

а)

Дано уравнение $tg^2x - 3tgx + 2 = 0$.

Данное уравнение является квадратным относительно $tgx$. Введем замену переменной. Пусть $y = tgx$.

Тогда уравнение примет вид: $y^2 - 3y + 2 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Отсюда следует, что корни уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = 2$.

Либо можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 1}{2}$.

$y_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2$; $y_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$.

Теперь выполним обратную замену.

1. Если $tgx = 1$, то $x = arctg(1) + \pi n$, где $n \in Z$. Так как $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем серию решений $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.

2. Если $tgx = 2$, то $x = arctg(2) + \pi k$, где $k \in Z$.

Объединяя обе серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$; $x = arctg(2) + \pi k, k \in Z$.

б)

Дано уравнение $2sin^2x - 3sinx + 1 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $sinx$. Сделаем замену переменной: пусть $y = sinx$. Учитывая свойство синуса, должно выполняться условие $|y| \le 1$.

Уравнение принимает вид: $2y^2 - 3y + 1 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}$.

$y_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1$; $y_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Оба найденных значения удовлетворяют условию $|y| \le 1$.

Выполним обратную замену.

1. Если $sinx = 1$, это частный случай. Решением является $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.

2. Если $sinx = \frac{1}{2}$, то по общей формуле $x = (-1)^k arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in Z$. Так как $arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.

в)

Дано уравнение $3cos^2x - 5cosx + 2 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $cosx$. Сделаем замену переменной: пусть $y = cosx$, при этом $|y| \le 1$.

Уравнение принимает вид: $3y^2 - 5y + 2 = 0$.

Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$.

$y_1 = \frac{5 + 1}{6} = 1$; $y_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Оба корня удовлетворяют условию $|y| \le 1$.

Выполним обратную замену.

1. Если $cosx = 1$, это частный случай. Решением является $x = 2\pi n, n \in Z$.

2. Если $cosx = \frac{2}{3}$, то по общей формуле $x = \pm arccos(\frac{2}{3}) + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in Z$; $x = \pm arccos(\frac{2}{3}) + 2\pi k, k \in Z$.

г)

Дано уравнение $4ctg^2x - 6ctgx + 2 = 0$.

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2: $2ctg^2x - 3ctgx + 1 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $ctgx$. Введем замену: пусть $y = ctgx$.

Уравнение принимает вид: $2y^2 - 3y + 1 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения были найдены в пункте б): $y_1 = 1$ и $y_2 = \frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену.

1. Если $ctgx = 1$, то $x = arcctg(1) + \pi n$, где $n \in Z$. Так как $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.

2. Если $ctgx = \frac{1}{2}$, то $x = arcctg(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in Z$.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$; $x = arcctg(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in Z$.