Номер 30, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

30. a) $f(x) = \sin x + x;$

б) $f(x) = x - \cos x.$

а) Для нахождения промежутков монотонности (возрастания и убывания) функции $f(x) = \sin x + x$, необходимо исследовать знак ее производной.

1. Найдем производную функции. Область определения функции - все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

$f'(x) = (\sin x + x)' = (\sin x)' + (x)' = \cos x + 1$.

2. Определим знак производной. Функция возрастает, если $f'(x) > 0$, и убывает, если $f'(x) < 0$.

Мы знаем, что значения функции косинус лежат в диапазоне от -1 до 1, то есть:

$-1 \le \cos x \le 1$.

Прибавив 1 ко всем частям неравенства, получим оценку для производной:

$-1 + 1 \le \cos x + 1 \le 1 + 1$

$0 \le \cos x + 1 \le 2$.

Таким образом, производная $f'(x) \ge 0$ для всех действительных значений $x$. Это означает, что функция является неубывающей на всей своей области определения.

3. Найдем точки, в которых производная равна нулю.

$f'(x) = 0 \implies \cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1$.

Это равенство выполняется при $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку производная неотрицательна на всей числовой прямой и обращается в ноль лишь в отдельных (изолированных) точках, функция $f(x)$ строго возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

б) Для нахождения промежутков монотонности функции $f(x) = x - \cos x$, исследуем знак ее производной.

1. Найдем производную функции. Область определения функции - все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

$f'(x) = (x - \cos x)' = (x)' - (\cos x)' = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x$.

2. Определим знак производной.

Мы знаем, что значения функции синус лежат в диапазоне от -1 до 1, то есть:

$-1 \le \sin x \le 1$.

Прибавив 1 ко всем частям неравенства, получим оценку для производной:

$1 + (-1) \le 1 + \sin x \le 1 + 1$

$0 \le 1 + \sin x \le 2$.

Таким образом, производная $f'(x) \ge 0$ для всех действительных значений $x$. Это означает, что функция является неубывающей на всей своей области определения.

3. Найдем точки, в которых производная равна нулю.

$f'(x) = 0 \implies 1 + \sin x = 0 \implies \sin x = -1$.

Это равенство выполняется при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку производная неотрицательна на всей числовой прямой и обращается в ноль лишь в отдельных (изолированных) точках, функция $f(x)$ строго возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.