Номер 33, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

33. a) $ \sin x \cos 2x + \cos x \sin 2x > \frac{1}{2}; $

б) $ \cos 6x \cdot \cos x - \sin 6x \cdot \sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}. $

а) Левая часть неравенства представляет собой формулу синуса суммы двух углов: $ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha + \beta) $. Применим эту формулу к нашему неравенству, где $ \alpha = x $ и $ \beta = 2x $:$ \sin(x)\cos(2x) + \cos(x)\sin(2x) = \sin(x + 2x) = \sin(3x) $.Таким образом, исходное неравенство принимает вид:$ \sin(3x) > \frac{1}{2} $.Решим это тригонометрическое неравенство. Сначала найдем значения, при которых $ \sin(t) = \frac{1}{2} $. Это $ t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n $ и $ t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.Неравенство $ \sin(t) > \frac{1}{2} $ выполняется для углов $ t $, лежащих в интервале $ (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}) $ на единичной окружности.Следовательно, общее решение для $ t = 3x $ имеет вид:$ \frac{\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.Теперь разделим все части неравенства на 3, чтобы найти $ x $:$ \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}), n \in \mathbb{Z} $.

б) Левая часть неравенства является формулой косинуса суммы двух углов: $ \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha + \beta) $. В данном случае $ \alpha = 6x $ и $ \beta = x $. Применим формулу:$ \cos(6x)\cos(x) - \sin(6x)\sin(x) = \cos(6x + x) = \cos(7x) $.Исходное неравенство сводится к следующему:$ \cos(7x) > \frac{\sqrt{3}}{2} $.Решим это неравенство. Найдем значения, для которых $ \cos(t) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это $ t = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.Неравенство $ \cos(t) > \frac{\sqrt{3}}{2} $ справедливо для углов $ t $, которые находятся в интервале $ (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}) $ на единичной окружности.Общее решение для $ t = 7x $ записывается в виде двойного неравенства:$ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 7x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.Чтобы найти $ x $, разделим все части неравенства на 7:$ -\frac{\pi}{42} + \frac{2\pi n}{7} < x < \frac{\pi}{42} + \frac{2\pi n}{7} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{42} + \frac{2\pi n}{7}; \frac{\pi}{42} + \frac{2\pi n}{7}), n \in \mathbb{Z} $.