Номер 38, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

38. a) $\begin{cases} \text{tg}x < 0; \\ \text{ctg}x < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \text{tg}x > 0; \\ \text{sin}x \ge 0. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} \text{tg}\,x < 0; \\ \text{ctg}\,x < 0; \end{cases} $$ Функции тангенс и котангенс связаны соотношением $\text{tg}\,x \cdot \text{ctg}\,x = 1$ (при условии, что обе функции определены). Из этого следует, что $\text{tg}\,x$ и $\text{ctg}\,x$ всегда имеют одинаковые знаки. Если одна из функций отрицательна, то и другая будет отрицательной.

Следовательно, данная система равносильна одному неравенству: $$ \text{tg}\,x < 0 $$ Тангенс, который определяется как $\text{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x}$, отрицателен в тех координатных четвертях, где синус и косинус имеют разные знаки. Это происходит во II и IV четвертях.

II четверть соответствует интервалу $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in Z$.

IV четверть соответствует интервалу $x \in (\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in Z$.

Эти два семейства интервалов можно объединить в одну более компактную запись, учитывая, что период функции тангенса равен $\pi$. Решением неравенства $\text{tg}\,x < 0$ являются интервалы, где $x$ находится между асимптотой и нулем функции. Например, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ тангенс отрицателен при $x \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$. Добавляя периодичность $\pi k$, получаем общее решение.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi k), k \in Z$.

б)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} \text{tg}\,x > 0; \\ \sin x \ge 0. \end{cases} $$ Проанализируем каждое неравенство отдельно.

1. Неравенство $\text{tg}\,x > 0$. Тангенс положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это происходит в I и III координатных четвертях.

I четверть: $x \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in Z$.

III четверть: $x \in (\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in Z$.

2. Неравенство $\sin x \ge 0$. Синус неотрицателен в I и II координатных четвертях, включая границы, где он равен нулю.

Это соответствует интервалу $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in Z$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. Мы ищем углы, которые одновременно находятся (в I или III четверти) и (в I или II четверти). Общей для обоих условий является только I четверть.

Проверим граничные точки. Второе неравенство допускает $\sin x = 0$, что происходит при $x = n\pi$, где $n \in Z$. Однако, если $\sin x = 0$, то $\text{tg}\,x = 0$. Это не удовлетворяет первому неравенству $\text{tg}\,x > 0$, которое является строгим. Следовательно, точки, где $\sin x = 0$, не входят в решение.

Таким образом, система равносильна системе: $$ \begin{cases} \text{tg}\,x > 0; \\ \sin x > 0. \end{cases} $$ Из $\text{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x} > 0$ и $\sin x > 0$ следует, что $\cos x$ также должен быть строго положителен. Система сводится к: $$ \begin{cases} \sin x > 0; \\ \cos x > 0. \end{cases} $$ Оба эти условия выполняются одновременно только в I координатной четверти. Интервал для I четверти — $(0, \frac{\pi}{2})$. Учитывая периодичность тригонометрических функций $2\pi$, получаем общее решение.

Ответ: $x \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in Z$.