Страница 145 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

34. a) $\frac{2\operatorname{tg}2x}{1 - \operatorname{tg}^22x} \le \sqrt{3};$

б) $\frac{1 - \operatorname{tg}^23x}{2\operatorname{tg}3x} > -\sqrt{3}.$

a)

Исходное неравенство: $ \frac{2\operatorname{tg}2x}{1 - \operatorname{tg}^22x} \le \sqrt{3} $.

Левая часть неравенства представляет собой формулу тангенса двойного угла $ \operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} $. Однако, область определения исходного выражения отличается от области определения выражения $ \operatorname{tg}(4x) $. В частности, исходное выражение не определено, когда $ \operatorname{tg}(2x) $ не определен, то есть при $ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, что дает $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $. В этих точках выражение $ \operatorname{tg}(4x) = \operatorname{tg}(2(2x)) = \operatorname{tg}(\pi + 2\pi k) = 0 $, и неравенство $ 0 \le \sqrt{3} $ выполняется. Чтобы избежать потери или приобретения корней, решим неравенство без преобразования, сделав замену.

Пусть $ y = \operatorname{tg}(2x) $. Неравенство принимает вид: $ \frac{2y}{1 - y^2} \le \sqrt{3} $

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю: $ \frac{2y}{1 - y^2} - \sqrt{3} \le 0 $ $ \frac{2y - \sqrt{3}(1 - y^2)}{1 - y^2} \le 0 $ $ \frac{\sqrt{3}y^2 + 2y - \sqrt{3}}{(1 - y)(1 + y)} \le 0 $

Найдем корни числителя $ \sqrt{3}y^2 + 2y - \sqrt{3} = 0 $. Дискриминант $ D = 2^2 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3}) = 4 + 12 = 16 $. Корни: $ y_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2\sqrt{3}} = \frac{-2 \pm 4}{2\sqrt{3}} $. $ y_1 = \frac{-6}{2\sqrt{3}} = -\sqrt{3} $ $ y_2 = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $

Неравенство можно переписать в виде: $ \frac{\sqrt{3}(y - 1/\sqrt{3})(y + \sqrt{3})}{-(y - 1)(y + 1)} \le 0 $ Разделим на $ -\sqrt{3} $ (знак неравенства изменится): $ \frac{(y - 1/\sqrt{3})(y + \sqrt{3})}{(y - 1)(y + 1)} \ge 0 $

Решим это неравенство методом интервалов для $ y $. Корни числителя: $ -\sqrt{3} $ и $ 1/\sqrt{3} $. Корни знаменателя: $ -1 $ и $ 1 $. Расположим точки на числовой оси: $ -\sqrt{3} \approx -1.732 $, $ -1 $, $ 1/\sqrt{3} \approx 0.577 $, $ 1 $. Проверяя знаки на интервалах, получаем решение для $ y $: $ y \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup (-1, 1/\sqrt{3}] \cup (1, +\infty) $.

Теперь вернемся к замене $ y = \operatorname{tg}(2x) $ и решим три совокупных неравенства:

1) $ \operatorname{tg}(2x) \le -\sqrt{3} $ $ -\frac{\pi}{2} + \pi n < 2x \le -\frac{\pi}{3} + \pi n $ $ -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < x \le -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ -1 < \operatorname{tg}(2x) \le \frac{1}{\sqrt{3}} $ $ -\frac{\pi}{4} + \pi n < 2x \le \frac{\pi}{6} + \pi n $ $ -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} < x \le \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

3) $ \operatorname{tg}(2x) > 1 $ $ \frac{\pi}{4} + \pi n < 2x < \frac{\pi}{2} + \pi n $ $ \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Объединяя все три случая, получаем итоговое решение.

Ответ: $ x \in \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} \left( \left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, -\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}\right] \cup \left(-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}, \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}\right] \cup \left(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}, \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\right) \right) $.

б)

Исходное неравенство: $ \frac{1 - \operatorname{tg}^23x}{2\operatorname{tg}3x} > -\sqrt{3} $.

Левая часть неравенства представляет собой формулу котангенса двойного угла $ \operatorname{ctg}(2\alpha) = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{2\operatorname{tg}\alpha} $. В данном случае $ \alpha = 3x $, поэтому выражение равно $ \operatorname{ctg}(2 \cdot 3x) = \operatorname{ctg}(6x) $.

Проверим области определения. Для исходного выражения $ \operatorname{tg}(3x) $ должен быть определен, то есть $ 3x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k $, и знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $ \operatorname{tg}(3x) \ne 0 $, что означает $ 3x \ne \pi m $. Объединяя эти условия, получаем $ 3x \ne \frac{\pi n}{2} $, или $ x \ne \frac{\pi n}{6} $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Для выражения $ \operatorname{ctg}(6x) $ оно определено, когда $ 6x \ne \pi n $, что также дает $ x \ne \frac{\pi n}{6} $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Так как области определения совпадают, мы можем заменить исходное выражение на $ \operatorname{ctg}(6x) $.

Получаем неравенство: $ \operatorname{ctg}(6x) > -\sqrt{3} $

Функция котангенса является убывающей на каждом интервале своей области определения. Найдем значение арккотангенса: $ \operatorname{arccot}(-\sqrt{3}) = \pi - \operatorname{arccot}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $. Решение неравенства $ \operatorname{ctg}(u) > a $ имеет вид $ \pi n < u < \operatorname{arccot}(a) + \pi n $. В нашем случае $ u = 6x $: $ \pi n < 6x < \frac{5\pi}{6} + \pi n $

Разделим все части неравенства на 6: $ \frac{\pi n}{6} < x < \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi n}{6} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in \left(\frac{\pi n}{6}, \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi n}{6}\right), n \in \mathbb{Z} $.

35. a) $\cos^2 x + \frac{1}{2} > \sin^2 x$;

б) $4\sin2x \cdot \cos2x - \sqrt{2} \le 0.$

a) Решим неравенство $\cos^2x + \frac{1}{2} > \sin^2x$.

Перенесем $\sin^2x$ в левую часть неравенства:

$\cos^2x - \sin^2x > -\frac{1}{2}$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$. Неравенство примет вид:

$\cos(2x) > -\frac{1}{2}$

Сделаем замену $t = 2x$. Получим простейшее тригонометрическое неравенство $\cos(t) > -\frac{1}{2}$.

Решениями уравнения $\cos(t) = -\frac{1}{2}$ являются $t = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На единичной окружности значениям $t$, для которых $\cos(t) > -\frac{1}{2}$, соответствует дуга, расположенная правее прямой $x = -1/2$. Таким образом, решение для $t$ имеет вид:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену $t = 2x$:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Чтобы найти $x$, разделим все части двойного неравенства на 2:

$-\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + \pi k; \frac{\pi}{3} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $4\sin(2x)\cos(2x) - \sqrt{2} \le 0$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. В нашем случае $\alpha = 2x$. Преобразуем левую часть неравенства:

$4\sin(2x)\cos(2x) = 2 \cdot (2\sin(2x)\cos(2x)) = 2\sin(2 \cdot 2x) = 2\sin(4x)$.

Подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$2\sin(4x) - \sqrt{2} \le 0$

Выразим $\sin(4x)$:

$2\sin(4x) \le \sqrt{2}$

$\sin(4x) \le \frac{\sqrt{2}}{2}$

Сделаем замену $t = 4x$. Получим неравенство $\sin(t) \le \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решениями уравнения $\sin(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ являются $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На единичной окружности значениям $t$, для которых $\sin(t) \le \frac{\sqrt{2}}{2}$, соответствует дуга, расположенная ниже или на прямой $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Эта дуга начинается в точке $\frac{3\pi}{4}$ и заканчивается в точке $2\pi+\frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$. Таким образом, решение для $t$ имеет вид:

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{9\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 4x$:

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le 4x \le \frac{9\pi}{4} + 2\pi k$

Чтобы найти $x$, разделим все части двойного неравенства на 4:

$\frac{3\pi}{16} + \frac{2\pi k}{4} \le x \le \frac{9\pi}{16} + \frac{2\pi k}{4}$

$\frac{3\pi}{16} + \frac{\pi k}{2} \le x \le \frac{9\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{3\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}; \frac{9\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}], k \in \mathbb{Z}$.

36. a)

$ \frac{1}{\text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)} \ge \frac{\sqrt{3}}{3} $;

б) $ \frac{1}{\text{tg}x - \frac{\pi}{3}} \le -1 $.

a) $\frac{1}{\ctg(x - \frac{\pi}{4})} > \frac{\sqrt{3}}{3}$

Преобразуем неравенство, используя тождество $\tg\alpha = \frac{1}{\ctg\alpha}$. Это преобразование равносильно при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $\ctg(x - \frac{\pi}{4}) \ne 0$. Также сам котангенс должен быть определен, то есть $\sin(x - \frac{\pi}{4}) \ne 0$.

Исходное неравенство эквивалентно следующему:

$\tg\left(x - \frac{\pi}{4}\right) > \frac{\sqrt{3}}{3}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x - \frac{\pi}{4}$. Неравенство примет вид:

$\tg t > \frac{\sqrt{3}}{3}$

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Аргумент тангенса $t$ должен удовлетворять условию, при котором значение тангенса больше $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Найдём угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$: $\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Функция тангенса возрастает на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ и имеет вертикальную асимптоту в точке $t = \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, решение для $t$ на одном периоде будет $\frac{\pi}{6} < t < \frac{\pi}{2}$.

Учитывая периодичность тангенса (период равен $\pi$), общее решение для $t$ имеет вид:

$\frac{\pi}{6} + \pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернёмся к исходной переменной $x$, подставив $t = x - \frac{\pi}{4}$:

$\frac{\pi}{6} + \pi n < x - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + \pi n$

Чтобы найти $x$, прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям двойного неравенства:

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{2\pi + 3\pi}{12} + \pi n < x < \frac{2\pi + \pi}{4} + \pi n$

$\frac{5\pi}{12} + \pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(\frac{5\pi}{12} + \pi n; \frac{3\pi}{4} + \pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\frac{1}{\tg(x - \frac{\pi}{3})} \le -1$

Для того чтобы дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным, то есть $\tg(x - \frac{\pi}{3}) < 0$. Преобразуем неравенство, используя тождество $\ctg\alpha = \frac{1}{\tg\alpha}$.

$\ctg\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \le -1$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x - \frac{\pi}{3}$. Неравенство примет вид:

$\ctg t \le -1$

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Найдём значения $t$, для которых котангенс не превышает $-1$.

Найдём угол, котангенс которого равен $-1$: $\arccot(-1) = \frac{3\pi}{4}$.

Функция котангенса является убывающей на интервале $(0, \pi)$ и имеет вертикальную асимптоту в точке $t = \pi$.

Таким образом, решение для $t$ на одном периоде $(0, \pi)$ будет интервал $[\frac{3\pi}{4}, \pi)$.

Учитывая периодичность котангенса (период равен $\pi$), общее решение для $t$ имеет вид:

$\frac{3\pi}{4} + \pi n \le t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернёмся к исходной переменной $x$, подставив $t = x - \frac{\pi}{3}$:

$\frac{3\pi}{4} + \pi n \le x - \frac{\pi}{3} < \pi + \pi n$

Чтобы найти $x$, прибавим $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям двойного неравенства:

$\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + \pi n \le x < \pi + \frac{\pi}{3} + \pi n$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{9\pi + 4\pi}{12} + \pi n \le x < \frac{3\pi + \pi}{3} + \pi n$

$\frac{13\pi}{12} + \pi n \le x < \frac{4\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left[\frac{13\pi}{12} + \pi n; \frac{4\pi}{3} + \pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решите системы неравенств (37–38):

37. a)

$\begin{cases} \sin x \ge 0; \\ \cos x \le 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2 \sin x \le 0; \\ 3 \cos x > 0. \end{cases}$

a) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \sin x \ge 0 \\ \cos x \le 0 \end{cases} $

Для решения этой системы рассмотрим единичную окружность. Координаты точки на окружности, соответствующей углу $x$, равны $(\cos x, \sin x)$.

Первое неравенство, $ \sin x \ge 0 $, означает, что ордината точки на единичной окружности должна быть неотрицательной. Это соответствует точкам, расположенным в первой и второй координатных четвертях, включая оси, разделяющие их. Решением этого неравенства является множество углов $x \in [2\pi n, \pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Второе неравенство, $ \cos x \le 0 $, означает, что абсцисса точки на единичной окружности должна быть неположительной. Это соответствует точкам, расположенным во второй и третьей координатных четвертях, включая оси. Решением этого неравенства является множество углов $x \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Областью, где одновременно $ \sin x \ge 0 $ (верхняя полуплоскость) и $ \cos x \le 0 $ (левая полуплоскость), является вторая координатная четверть, включая ее границы. Эта четверть соответствует углам от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$.

Таким образом, общее решение системы неравенств можно записать в виде интервала с учетом периодичности тригонометрических функций.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \pi + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2\sin x \le 0 \\ 3\cos x > 0 \end{cases} $

Упростим систему, разделив первое неравенство на 2, а второе на 3. Так как 2 и 3 — положительные числа, знаки неравенств не изменятся:

$ \begin{cases} \sin x \le 0 \\ \cos x > 0 \end{cases} $

Снова воспользуемся единичной окружностью.

Первое неравенство, $ \sin x \le 0 $, выполняется для углов, точки которых на единичной окружности имеют неположительную ординату. Это соответствует третьей и четвертой координатным четвертям, включая границы. Решением этого неравенства является множество $x \in [\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$. Также этот промежуток можно записать как $[-\pi + 2\pi n, 2\pi n]$.

Второе неравенство, $ \cos x > 0 $, выполняется для углов, точки которых на единичной окружности имеют положительную абсциссу. Это соответствует первой и четвертой координатным четвертям, не включая границу (ось ординат). Решением этого неравенства является множество $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Областью, где одновременно $ \sin x \le 0 $ (нижняя полуплоскость) и $ \cos x > 0 $ (правая полуплоскость), является четвертая координатная четверть. Рассмотрим границы:

• При $x = 2\pi n$ (ось абсцисс): $ \sin(2\pi n) = 0 $ (удовлетворяет $\le 0$) и $ \cos(2\pi n) = 1 $ (удовлетворяет $>0$). Значит, эти точки входят в решение.
• При $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ (ось ординат): $ \sin(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = -1 $ (удовлетворяет $\le 0$) и $ \cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 0 $ (не удовлетворяет $>0$). Значит, эти точки не входят в решение.

Таким образом, решением является интервал от $-\frac{\pi}{2}$ до $0$, где левая граница не включена, а правая включена. Учитывая периодичность, получаем общее решение.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

38. a) $\begin{cases} \text{tg}x < 0; \\ \text{ctg}x < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \text{tg}x > 0; \\ \text{sin}x \ge 0. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} \text{tg}\,x < 0; \\ \text{ctg}\,x < 0; \end{cases} $$ Функции тангенс и котангенс связаны соотношением $\text{tg}\,x \cdot \text{ctg}\,x = 1$ (при условии, что обе функции определены). Из этого следует, что $\text{tg}\,x$ и $\text{ctg}\,x$ всегда имеют одинаковые знаки. Если одна из функций отрицательна, то и другая будет отрицательной.

Следовательно, данная система равносильна одному неравенству: $$ \text{tg}\,x < 0 $$ Тангенс, который определяется как $\text{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x}$, отрицателен в тех координатных четвертях, где синус и косинус имеют разные знаки. Это происходит во II и IV четвертях.

II четверть соответствует интервалу $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in Z$.

IV четверть соответствует интервалу $x \in (\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in Z$.

Эти два семейства интервалов можно объединить в одну более компактную запись, учитывая, что период функции тангенса равен $\pi$. Решением неравенства $\text{tg}\,x < 0$ являются интервалы, где $x$ находится между асимптотой и нулем функции. Например, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ тангенс отрицателен при $x \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$. Добавляя периодичность $\pi k$, получаем общее решение.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi k), k \in Z$.

б)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} \text{tg}\,x > 0; \\ \sin x \ge 0. \end{cases} $$ Проанализируем каждое неравенство отдельно.

1. Неравенство $\text{tg}\,x > 0$. Тангенс положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это происходит в I и III координатных четвертях.

I четверть: $x \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in Z$.

III четверть: $x \in (\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in Z$.

2. Неравенство $\sin x \ge 0$. Синус неотрицателен в I и II координатных четвертях, включая границы, где он равен нулю.

Это соответствует интервалу $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in Z$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. Мы ищем углы, которые одновременно находятся (в I или III четверти) и (в I или II четверти). Общей для обоих условий является только I четверть.

Проверим граничные точки. Второе неравенство допускает $\sin x = 0$, что происходит при $x = n\pi$, где $n \in Z$. Однако, если $\sin x = 0$, то $\text{tg}\,x = 0$. Это не удовлетворяет первому неравенству $\text{tg}\,x > 0$, которое является строгим. Следовательно, точки, где $\sin x = 0$, не входят в решение.

Таким образом, система равносильна системе: $$ \begin{cases} \text{tg}\,x > 0; \\ \sin x > 0. \end{cases} $$ Из $\text{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x} > 0$ и $\sin x > 0$ следует, что $\cos x$ также должен быть строго положителен. Система сводится к: $$ \begin{cases} \sin x > 0; \\ \cos x > 0. \end{cases} $$ Оба эти условия выполняются одновременно только в I координатной четверти. Интервал для I четверти — $(0, \frac{\pi}{2})$. Учитывая периодичность тригонометрических функций $2\pi$, получаем общее решение.

Ответ: $x \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in Z$.

39. Решите неравенство $f'(x) < g'(x)$, если:

а) $f(x) = -x^2 + x$, $g(x) = x - 10$;

б) $f(x) = x^3 - x^2$, $g(x) = 3x - x^2$;

в) $f(x) = \frac{1}{x}$, $g(x) = -x$;

г) $f(x) = \frac{x^3 + 2}{x}$, $g(x) = 6x + \frac{2}{x}$.

а) Даны функции $f(x) = -x^2 + x$ и $g(x) = x - 10$.

Сначала найдем производные этих функций.

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = (-x^2 + x)' = -2x + 1$

Производная функции $g(x)$:

$g'(x) = (x - 10)' = 1$

Теперь решим неравенство $f'(x) < g'(x)$:

$-2x + 1 < 1$

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$-2x < 0$

Разделим обе части на -2 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x > 0$

Решение неравенства: $x \in (0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

б) Даны функции $f(x) = x^3 - x^2$ и $g(x) = 3x - x^2$.

Найдем производные функций.

$f'(x) = (x^3 - x^2)' = 3x^2 - 2x$

$g'(x) = (3x - x^2)' = 3 - 2x$

Составим и решим неравенство $f'(x) < g'(x)$:

$3x^2 - 2x < 3 - 2x$

Прибавим $2x$ к обеим частям неравенства:

$3x^2 < 3$

Разделим обе части на 3:

$x^2 < 1$

Это неравенство равносильно интервалу $-1 < x < 1$.

Решение неравенства: $x \in (-1; 1)$.

Ответ: $x \in (-1; 1)$.

в) Даны функции $f(x) = \frac{1}{x}$ и $g(x) = -x$.

Область определения функции $f(x)$ и ее производной: $x \neq 0$.

Найдем производные.

$f'(x) = (\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

$g'(x) = (-x)' = -1$

Решим неравенство $f'(x) < g'(x)$ с учетом области определения:

$-\frac{1}{x^2} < -1$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{1}{x^2} > 1$

Так как $x^2 > 0$ при $x \neq 0$, можно умножить обе части на $x^2$ без изменения знака неравенства:

$1 > x^2$

$x^2 < 1$

Решением этого неравенства является интервал $-1 < x < 1$.

Учитывая область определения $x \neq 0$, получаем окончательное решение.

Решение неравенства: $x \in (-1; 0) \cup (0; 1)$.

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (0; 1)$.

г) Даны функции $f(x) = \frac{x^3 + 2}{x}$ и $g(x) = 6x + \frac{2}{x}$.

Область определения обеих функций и их производных: $x \neq 0$.

Для удобства дифференцирования представим функции в виде суммы:

$f(x) = \frac{x^3}{x} + \frac{2}{x} = x^2 + 2x^{-1}$

$g(x) = 6x + 2x^{-1}$

Найдем производные.

$f'(x) = (x^2 + 2x^{-1})' = 2x - 2x^{-2} = 2x - \frac{2}{x^2}$

$g'(x) = (6x + 2x^{-1})' = 6 - 2x^{-2} = 6 - \frac{2}{x^2}$

Составим и решим неравенство $f'(x) < g'(x)$:

$2x - \frac{2}{x^2} < 6 - \frac{2}{x^2}$

Прибавим $\frac{2}{x^2}$ к обеим частям неравенства:

$2x < 6$

Разделим обе части на 2:

$x < 3$

Учитывая область определения $x \neq 0$, получаем окончательное решение.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 3)$.

40. Решите неравенство $f''(x) \ge 0$, если:

a) $f(x)=x^2-1;$

б) $f(x)=x+2x^2;$

в) $f(x)=3x+x^3;$

г) $f(x)=6+x^3.$

а) Дана функция $f(x) = x^2 - 1$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю, получаем:

$f'(x) = (x^2 - 1)' = (x^2)' - (1)' = 2x - 0 = 2x$.

Теперь решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$2x \geq 0$.

Разделив обе части неравенства на 2, получим:

$x \geq 0$.

Решением неравенства является промежуток $[0, +\infty)$.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

б) Дана функция $f(x) = x + 2x^2$.

Найдем производную функции $f(x)$, предварительно записав ее в стандартном виде $f(x) = 2x^2 + x$:

$f'(x) = (2x^2 + x)' = (2x^2)' + (x)' = 2 \cdot 2x + 1 = 4x + 1$.

Решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$4x + 1 \geq 0$.

Перенесем 1 в правую часть:

$4x \geq -1$.

Разделим обе части на 4:

$x \geq -\frac{1}{4}$.

Решением неравенства является промежуток $[-\frac{1}{4}, +\infty)$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{4}, +\infty)$.

в) Дана функция $f(x) = 3x + x^3$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (3x + x^3)' = (3x)' + (x^3)' = 3 + 3x^2$.

Теперь решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$3 + 3x^2 \geq 0$.

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3(1 + x^2) \geq 0$.

Разделим обе части на 3:

$1 + x^2 \geq 0$.

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \geq 0$. Следовательно, $1 + x^2$ всегда будет больше или равно 1, и, очевидно, больше 0. Таким образом, неравенство $1 + x^2 \geq 0$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

г) Дана функция $f(x) = 6 + x^3$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (6 + x^3)' = (6)' + (x^3)' = 0 + 3x^2 = 3x^2$.

Решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$3x^2 \geq 0$.

Разделим обе части на 3:

$x^2 \geq 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство справедливо для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

41. Решите неравенство $f'(x) \le 0$, если:

a) $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 6x;$

б) $f(x) = x^3 - 5,5x^2 - 20x;$

в) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 15;$

г) $f(x) = x^4 - 8x^2 + 20.$

а) Для функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 6x$ найдем ее производную.$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 6x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} + \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} - 6 = x^2 + x - 6$.Теперь необходимо решить неравенство $f'(x) \leq 0$, то есть $x^2 + x - 6 \leq 0$.Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$.По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -1$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -6$. Отсюда корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, значения функции меньше или равны нулю на промежутке между корнями, включая сами корни.Таким образом, решение неравенства: $x \in [-3; 2]$.Ответ: $[-3; 2]$.

б) Для функции $f(x) = x^3 - 5,5x^2 - 20x$ найдем ее производную.$f'(x) = (x^3 - 5,5x^2 - 20x)' = 3x^2 - 5,5 \cdot 2x - 20 = 3x^2 - 11x - 20$.Решим неравенство $f'(x) \leq 0$, то есть $3x^2 - 11x - 20 \leq 0$.Найдем корни уравнения $3x^2 - 11x - 20 = 0$ с помощью дискриминанта.$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361 = 19^2$.Корни уравнения:$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 19}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$.$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 19}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$.Графиком функции $y = 3x^2 - 11x - 20$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, неравенство выполняется на промежутке между корнями.Таким образом, решение неравенства: $x \in [-\frac{4}{3}; 5]$.Ответ: $[-\frac{4}{3}; 5]$.

в) Для функции $f(x) = x^3 + 3x^2 - 15$ найдем ее производную.$f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 15)' = 3x^2 + 6x$.Решим неравенство $f'(x) \leq 0$, то есть $3x^2 + 6x \leq 0$.Вынесем общий множитель за скобки: $3x(x + 2) \leq 0$.Корни выражения: $x=0$ и $x=-2$.Это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неположительные значения между корнями (включая концы).Таким образом, решение неравенства: $x \in [-2; 0]$.Ответ: $[-2; 0]$.

г) Для функции $f(x) = x^4 - 8x^2 + 20$ найдем ее производную.$f'(x) = (x^4 - 8x^2 + 20)' = 4x^3 - 16x$.Решим неравенство $f'(x) \leq 0$, то есть $4x^3 - 16x \leq 0$.Разложим левую часть на множители: $4x(x^2 - 4) \leq 0$, что равносильно $4x(x - 2)(x + 2) \leq 0$.Решим это неравенство методом интервалов.Корни выражения: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.Нанесем эти точки на числовую прямую. Они разбивают ее на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.Определим знак выражения $4x(x - 2)(x + 2)$ в каждом интервале.При $x > 2$ (например, $x=3$), все множители положительны, значит выражение положительно.Так как все корни имеют нечетную кратность (1), знаки на интервалах чередуются.Знаки по интервалам: $(-\infty; -2) \rightarrow -$, $(-2; 0) \rightarrow +$, $(0; 2) \rightarrow -$, $(2; +\infty) \rightarrow +$.Нам нужны промежутки, где выражение меньше или равно нулю.Это промежутки $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$.Ответ: $(-\infty; -2] \cup [0; 2]$.

42. Решите неравенство $f'(x) > 0$, если:

а) $f(x) = -\cos(2x - 1) - x;$

б) $f(x) = -\sin(x + 1) + 0,5x;$

в) $f(x) = 2\sin x - \sqrt{3}x;$

г) $f(x) = \frac{1}{4}\cos 8x + \sqrt{2}x.$

а) Дана функция $f(x) = -\cos(2x - 1) - x$.Сначала найдем ее производную, используя правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования суммы:$f'(x) = (-\cos(2x - 1) - x)' = -(-\sin(2x - 1)) \cdot (2x - 1)' - (x)' = \sin(2x - 1) \cdot 2 - 1 = 2\sin(2x - 1) - 1$.Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:$2\sin(2x - 1) - 1 > 0$$2\sin(2x - 1) > 1$$\sin(2x - 1) > \frac{1}{2}$Решением простейшего тригонометрического неравенства $\sin(t) > a$ является совокупность интервалов $\arcsin(a) + 2\pi n < t < \pi - \arcsin(a) + 2\pi n$.В нашем случае $t = 2x - 1$ и $a = \frac{1}{2}$, $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.Таким образом, получаем двойное неравенство:$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 2x - 1 < \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 2x - 1 < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$Чтобы найти $x$, сначала прибавим 1 ко всем частям неравенства:$1 + \frac{\pi}{6} + 2\pi n < 2x < 1 + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$Затем разделим все части неравенства на 2:$\frac{1}{2} + \frac{\pi}{12} + \pi n < x < \frac{1}{2} + \frac{5\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.Ответ: $x \in (\frac{1}{2} + \frac{\pi}{12} + \pi n; \frac{1}{2} + \frac{5\pi}{12} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $f(x) = -\sin(x + 1) + 0,5x$.Найдем ее производную:$f'(x) = (-\sin(x + 1) + 0,5x)' = -\cos(x + 1) \cdot (x + 1)' + 0,5 = -\cos(x + 1) + 0,5$.Решим неравенство $f'(x) > 0$:$-\cos(x + 1) + 0,5 > 0$$0,5 > \cos(x + 1)$$\cos(x + 1) < \frac{1}{2}$Решением простейшего тригонометрического неравенства $\cos(t) < a$ является совокупность интервалов $\arccos(a) + 2\pi n < t < 2\pi - \arccos(a) + 2\pi n$.В нашем случае $t = x + 1$ и $a = \frac{1}{2}$, $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.Получаем двойное неравенство:$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x + 1 < 2\pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x + 1 < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$Чтобы найти $x$, вычтем 1 из всех частей неравенства:$\frac{\pi}{3} - 1 + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{3} - 1 + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.Ответ: $x \in (\frac{\pi}{3} - 1 + 2\pi n; \frac{5\pi}{3} - 1 + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

в) Дана функция $f(x) = 2\sin x - \sqrt{3}x$.Найдем ее производную:$f'(x) = (2\sin x - \sqrt{3}x)' = 2\cos x - \sqrt{3}$.Решим неравенство $f'(x) > 0$:$2\cos x - \sqrt{3} > 0$$2\cos x > \sqrt{3}$$\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$Решением простейшего тригонометрического неравенства $\cos(x) > a$ является совокупность интервалов $-\arccos(a) + 2\pi n < x < \arccos(a) + 2\pi n$.В нашем случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.Получаем двойное неравенство:$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{1}{4}\cos 8x + \sqrt{2}x$.Найдем ее производную:$f'(x) = (\frac{1}{4}\cos 8x + \sqrt{2}x)' = \frac{1}{4}(-\sin 8x) \cdot (8x)' + \sqrt{2} = -2\sin 8x + \sqrt{2}$.Решим неравенство $f'(x) > 0$:$-2\sin 8x + \sqrt{2} > 0$$\sqrt{2} > 2\sin 8x$$\sin 8x < \frac{\sqrt{2}}{2}$Решением простейшего тригонометрического неравенства $\sin(t) < a$ является совокупность интервалов $\pi - \arcsin(a) + 2\pi n < t < 2\pi + \arcsin(a) + 2\pi n$. Это можно записать и в другой форме.В нашем случае $t = 8x$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.Получаем двойное неравенство:$\pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n < 8x < 2\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < 8x < \frac{9\pi}{4} + 2\pi n$.Для удобства можно записать этот интервал в другом виде:$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < 8x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 8:$-\frac{5\pi}{32} + \frac{2\pi n}{8} < x < \frac{\pi}{32} + \frac{2\pi n}{8}$$-\frac{5\pi}{32} + \frac{\pi n}{4} < x < \frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{32} + \frac{\pi n}{4}; \frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{4}), n \in \mathbb{Z}$.

43. Найдите область определения функции:

а) $y=\sqrt{4-x}$;

б) $y=\sin x+\sqrt{x}$;

в) $y=\frac{x+1}{x^2-4}$;

г) $y=\frac{x+2}{x^2-5x+6}$.

а) Область определения функции $y = \sqrt{4-x}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).

Составим и решим соответствующее неравенство:

$4 - x \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть неравенства, поменяв знак:

$4 \ge x$

Это неравенство можно записать как:

$x \le 4$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, которые меньше или равны 4. В виде промежутка это записывается как $(-\infty, 4]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 4]$.

б) Функция $y = \sin x + \sqrt{x}$ является суммой двух функций: $f(x) = \sin x$ и $g(x) = \sqrt{x}$. Область определения такой комбинированной функции является пересечением (общей частью) областей определения каждой из функций-слагаемых.

1. Область определения функции $f(x) = \sin x$ — это множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

2. Область определения функции $g(x) = \sqrt{x}$ ограничена условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. В виде промежутка это $x \in [0, +\infty)$.

Найдем пересечение этих двух множеств: $(-\infty, +\infty) \cap [0, +\infty)$. Общей частью является промежуток $[0, +\infty)$.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

в) Данная функция $y = \frac{x+1}{x^2-4}$ является дробно-рациональной. Ее область определения — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в ноль, так как на ноль делить нельзя.

Найдем значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль, решив уравнение:

$x^2 - 4 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем 4 в правую часть:

$x^2 = 4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{4}$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Следовательно, эти два значения $x$ должны быть исключены из области определения функции.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

г) Функция $y = \frac{x+2}{x^2-5x+6}$ также является дробно-рациональной. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю, чтобы исключить их из области определения.

Приравняем знаменатель к нулю:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2}$

$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, знаменатель обращается в ноль при $x=2$ и $x=3$. Эти значения необходимо исключить из области определения.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, +\infty)$.

44. Найдите множество значений функции:

а) $y = x^2 + 2x - 10;$

б) $y = \frac{1}{x - 40};$

в) $y = 8\cos x;$

г) $y = 3 + 2\sin x.$

а) Функция $y = x^2 + 2x - 10$ является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, функция имеет наименьшее значение в своей вершине. Абсцисса вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для данной функции $a=1$ и $b=2$, поэтому $x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. Чтобы найти наименьшее значение функции, подставим $x_0 = -1$ в её уравнение: $y_0 = (-1)^2 + 2(-1) - 10 = 1 - 2 - 10 = -11$. Так как наименьшее значение функции равно -11, а ветви параболы уходят в бесконечность, множество значений функции — это все числа, большие или равные -11. Ответ: $y \in [-11; +\infty)$.

б) Дана функция $y = \frac{1}{x - 40}$. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=40$. Чтобы найти множество значений, попробуем выразить $x$ через $y$. Из уравнения $y = \frac{1}{x-40}$ следует, что $y(x-40) = 1$. Из этого уравнения видно, что $y$ не может быть равно нулю, так как в противном случае мы получили бы неверное равенство $0=1$. Для любого другого значения $y \neq 0$ мы можем найти соответствующее значение $x$: $x-40 = \frac{1}{y}$, откуда $x = 40 + \frac{1}{y}$. Поскольку для любого ненулевого значения $y$ существует соответствующее значение $x$, множество значений функции — это все действительные числа, кроме нуля. Ответ: $y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

в) Дана функция $y = 8\cos x$. Известно, что множество значений функции косинус — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется двойное неравенство: $-1 \le \cos x \le 1$. Чтобы найти множество значений для функции $y = 8\cos x$, умножим все части этого неравенства на 8. Так как 8 — положительное число, знаки неравенства не изменятся: $8 \cdot (-1) \le 8\cos x \le 8 \cdot 1$, что эквивалентно $-8 \le y \le 8$. Таким образом, множество значений функции — это отрезок от -8 до 8 включительно. Ответ: $y \in [-8; 8]$.

г) Дана функция $y = 3 + 2\sin x$. Для нахождения множества значений этой функции воспользуемся известным свойством функции синус: её значения лежат в отрезке $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$. Выполним преобразования этого неравенства. Сначала умножим все его части на 2: $2 \cdot (-1) \le 2\sin x \le 2 \cdot 1$, что дает $-2 \le 2\sin x \le 2$. Затем прибавим 3 ко всем частям полученного неравенства: $3 - 2 \le 3 + 2\sin x \le 3 + 2$. В результате получаем $1 \le y \le 5$. Следовательно, множество значений исходной функции — это отрезок от 1 до 5 включительно. Ответ: $y \in [1; 5]$.

45. Постройте график функции $y = x^2$ на отрезке $[0; 3]$. Продолжите данный график, если функция:

а) четная;

б) нечетная;

в) ни четная, ни нечетная.

Сначала построим график функции $y=x^2$ на отрезке $[0; 3]$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$. Для построения найдем несколько точек:

При $x=0$, $y=0^2=0$. Точка $(0, 0)$.

При $x=1$, $y=1^2=1$. Точка $(1, 1)$.

При $x=2$, $y=2^2=4$. Точка $(2, 4)$.

При $x=3$, $y=3^2=9$. Точка $(3, 9)$.

Соединив эти точки плавной линией, получим искомый график на отрезке $[0; 3]$. Теперь продолжим этот график в соответствии с условиями задачи.

а) четная;

Четная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. Область определения должна быть симметрична относительно нуля, то есть в нашем случае это будет отрезок $[-3; 3]$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Чтобы продолжить график, нужно отразить существующую часть графика (на отрезке $[0; 3]$) симметрично относительно оси OY на отрезок $[-3; 0]$. При этом для каждой точки $(x, y)$ на исходном графике появится точка $(-x, y)$ на продолжении. Например, точка $(2, 4)$ отразится в точку $(-2, 4)$, а точка $(3, 9)$ — в точку $(-3, 9)$.

В результате мы получим полную параболу $y=x^2$ на отрезке $[-3; 3]$.

Ответ: График на отрезке $[-3; 0]$ является зеркальным отражением графика на отрезке $[0; 3]$ относительно оси OY. Итоговый график на отрезке $[-3; 3]$ — это парабола $y=x^2$.

б) нечетная;

Нечетная функция удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения. Область определения также должна быть симметрична относительно нуля, то есть $[-3; 3]$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0, 0)$).

Чтобы продолжить график, нужно отразить существующую часть графика (на отрезке $[0; 3]$) симметрично относительно начала координат на отрезок $[-3; 0]$. При этом для каждой точки $(x, y)$ на исходном графике появится точка $(-x, -y)$ на продолжении. Например, точка $(2, 4)$ отразится в точку $(-2, -4)$, а точка $(3, 9)$ — в точку $(-3, -9)$.

На отрезке $[-3; 0]$ функция будет задаваться формулой $y=-(-x)^2 = -x^2$.

Ответ: График на отрезке $[-3; 0]$ является отражением графика на отрезке $[0; 3]$ относительно начала координат. Итоговая функция задается кусочно: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \in [0, 3] \\ -x^2, & \text{если } x \in [-3, 0) \end{cases}$

в) ни четная, ни нечетная.

Функция не является ни четной, ни нечетной, если ее график не обладает симметрией ни относительно оси OY, ни относительно начала координат. Это означает, что мы можем продолжить график на отрезок $[-3; 0]$ множеством способов, лишь бы не создавалась ни одна из указанных симметрий.

Приведем один из возможных примеров. Продолжим график на отрезке $[-3; 0]$ отрезком прямой, соединяющим точку $(0, 0)$ и, например, точку $(-3, 6)$. Уравнение этой прямой: $y = -2x$.

Тогда итоговая функция будет задана кусочно: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \in [0, 3] \\ -2x, & \text{если } x \in [-3, 0) \end{cases}$

Проверим. $f(2)=4$, а $f(-2)=-2(-2)=4$. Здесь $f(-2)=f(2)$, но $f(3)=9$, а $f(-3)=-2(-3)=6$. Так как $f(-3) \neq f(3)$, функция не является четной. Также она не является нечетной, так как $f(-2) \neq -f(2)$, ведь $4 \neq -4$.

Ответ: Можно продолжить график на отрезке $[-3; 0]$ любым способом, нарушающим симметрию относительно оси OY и начала координат. Например, можно соединить точку $(0,0)$ с точкой $(-3,6)$ отрезком прямой.