Страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

24.15. X и Y — независимые случайные величины, причем $D(X) = 2$, $D(Y) = 5$. Вычислите $D(3X + Y)$ и $D(3Y - 2X)$.

Для решения этой задачи используются свойства дисперсии для независимых случайных величин. Дано, что случайные величины $X$ и $Y$ независимы, и их дисперсии равны $D(X) = 2$ и $D(Y) = 5$.

Нам понадобятся следующие свойства дисперсии:

1. Вынесение постоянного множителя за знак дисперсии: для любой константы $a$ и случайной величины $Z$, $D(aZ) = a^2D(Z)$.

2. Дисперсия суммы или разности независимых случайных величин: если $X$ и $Y$ независимы, то $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$.

Комбинируя эти два свойства, для линейной комбинации $aX + bY$ независимых случайных величин $X$ и $Y$ получаем формулу: $D(aX + bY) = D(aX) + D(bY) = a^2D(X) + b^2D(Y)$.

D(3X + Y)

Для вычисления $D(3X + Y)$ воспользуемся формулой для линейной комбинации, где $a=3$ и $b=1$. Поскольку $X$ и $Y$ независимы, то и $3X$ и $Y$ также независимы.

$D(3X + Y) = D(3X) + D(Y)$

Применяем свойство вынесения постоянного множителя:

$D(3X) = 3^2 D(X) = 9D(X)$

Теперь подставим известные значения $D(X) = 2$ и $D(Y) = 5$ в выражение:

$D(3X + Y) = 9D(X) + D(Y) = 9 \cdot 2 + 5 = 18 + 5 = 23$

Ответ: $23$.

D(3Y - 2X)

Для вычисления $D(3Y - 2X)$ мы также используем формулу для линейной комбинации. Выражение $3Y - 2X$ можно записать как $3Y + (-2)X$. Здесь коэффициенты равны $3$ для $Y$ и $-2$ для $X$.

Так как $X$ и $Y$ независимы, то и $3Y$ и $-2X$ независимы. Поэтому дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий:

$D(3Y - 2X) = D(3Y) + D(-2X)$

Применяем свойство вынесения постоянного множителя для каждого слагаемого:

$D(3Y) = 3^2 D(Y) = 9D(Y)$

$D(-2X) = (-2)^2 D(X) = 4D(X)$

Складываем полученные выражения и подставляем известные значения $D(Y) = 5$ и $D(X) = 2$:

$D(3Y - 2X) = 9D(Y) + 4D(X) = 9 \cdot 5 + 4 \cdot 2 = 45 + 8 = 53$

Ответ: $53$.

1. Имеются четыре стандартных и одна нестандартная деталь. Случайно выбираются две детали. Найдите вероятность того, что выбранные две детали окажутся стандартными:

А) 0,4;

В) 0,6;

С) 0,5;

D) 0,7.

Для решения данной задачи можно использовать два основных подхода: через формулу сочетаний (классическое определение вероятности) или через теорему умножения вероятностей.

Способ 1: Использование формулы сочетаний

Вероятность события $A$ (выбраны две стандартные детали) вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Всего в наличии $4$ стандартных и $1$ нестандартная деталь, то есть $4 + 1 = 5$ деталей.

1. Найдем общее число исходов $n$. Это число способов выбрать 2 детали из 5 имеющихся, без учета порядка. Для этого используется формула числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число способов выбрать 2 детали из 5 равно:

$n = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Таким образом, всего существует 10 различных пар деталей, которые можно выбрать.

2. Найдем число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это выбор двух стандартных деталей. Так как стандартных деталей 4, то число способов выбрать 2 из них равно:

$m = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.

Итак, существует 6 способов выбрать 2 стандартные детали.

3. Рассчитаем искомую вероятность:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{6}{10} = 0,6$.

Способ 2: Использование теоремы умножения вероятностей

Рассмотрим выбор деталей как два последовательных зависимых события.

Вероятность того, что первая выбранная деталь окажется стандартной, составляет $P_1 = \frac{4}{5}$, так как из 5 деталей 4 являются стандартными.

После того как была выбрана одна стандартная деталь, осталось всего 4 детали, из которых 3 — стандартные. Вероятность того, что вторая выбранная деталь также будет стандартной, при условии, что первая была стандартной, равна $P_2 = \frac{3}{4}$.

Вероятность того, что обе детали будут стандартными, равна произведению вероятностей этих событий:

$P = P_1 \times P_2 = \frac{4}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0,6$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Сравнивая его с предложенными вариантами, видим, что правильный ответ — 0,6, что соответствует варианту B).

Ответ: B) 0,6.

2. Неполный закон распределения случайной величины $X$ задан таблицей 44:

Таблица 44

Если есть неизвестные вероятности, пропорциональные числам 1 : 2 : 1, то заполните таблицу закона распределения:

A) Таблица 45

B) Таблица 46

C) Таблица 47

D) Таблица 48

Для решения задачи воспользуемся основным свойством закона распределения дискретной случайной величины: сумма всех вероятностей $P_i$ должна быть равна единице.

$\sum P_i = P(X=5) + P(X=8) + P(X=12) + P(X=15) + P(X=18) = 1$

Из исходной таблицы 44 нам известны две вероятности: $P(X=5) = 0,2$ и $P(X=18) = 0,2$. Сумма этих вероятностей равна $0,2 + 0,2 = 0,4$.

Следовательно, сумма трех неизвестных вероятностей $P(X=8)$, $P(X=12)$ и $P(X=15)$ должна составлять:

$P(X=8) + P(X=12) + P(X=15) = 1 - (P(X=5) + P(X=18)) = 1 - 0,4 = 0,6$

По условию задачи, эти неизвестные вероятности пропорциональны числам 1: 2 : 1. Введем коэффициент пропорциональности $k$. Тогда мы можем выразить неизвестные вероятности через $k$:

$P(X=8) = 1 \cdot k = k$

$P(X=12) = 2 \cdot k = 2k$

$P(X=15) = 1 \cdot k = k$

Теперь подставим эти выражения в уравнение для суммы неизвестных вероятностей:

$k + 2k + k = 0,6$

$4k = 0,6$

Отсюда находим значение коэффициента $k$:

$k = \frac{0,6}{4} = 0,15$

Теперь, зная $k$, мы можем рассчитать точные значения неизвестных вероятностей:

$P(X=8) = k = 0,15$

$P(X=12) = 2k = 2 \cdot 0,15 = 0,30$

$P(X=15) = k = 0,15$

Таким образом, мы заполнили всю таблицу распределения:

X | 5 | 8 | 12 | 15 | 18

--|---|---|----|----|---

P | 0,2 | 0,15 | 0,3 | 0,15 | 0,2

Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1: $0,2 + 0,15 + 0,3 + 0,15 + 0,2 = 1,0$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами ответов, мы видим, что он полностью совпадает с вариантом C).

Ответ: C)

3. Закон распределения случайной величины $X$ задан в следующем виде (табл. 49):

Таблица 49

X: 5, ?, ?, ?, 17

P: 0,05, ?, ?, ?, 0,05

Заполните таблицу 49 закона распределения, если неизвестные значения случайной величины $X$ вместе с данными значениями составляют арифметическую прогрессию, а соответствующие им значения вероятностей равны между собой (табл. 50–53):

A) Таблица 50

X: 5, 8, 11, 14, 17

P: 0,05, 0,3, 0,3, 0,3, 0,05

B) Таблица 51

X: 5, 8, 12, 15, 17

P: 0,02, 0,3, 0,3, 0,3, 0,8

C) Таблица 52

X: 5, 8, 11, 14, 17

P: 0,05, 0,2, 0,3, 0,4, 0,05

D) Таблица 53

X: 5, 8, 12, 15, 18

P: 0,05, 0,3, 0,3, 0,3, 0,5

Для того чтобы заполнить таблицу 49, необходимо определить неизвестные значения случайной величины $X$ и соответствующие им вероятности $P$, используя заданные условия.

1. Нахождение неизвестных значений случайной величины $X$

По условию, все пять значений $X$ образуют арифметическую прогрессию. Обозначим их $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$. Нам известны первый и последний члены: $x_1 = 5$ и $x_5 = 17$.

Для n-го члена арифметической прогрессии справедлива формула $x_n = x_1 + (n-1)d$, где $d$ — разность прогрессии.

Для пятого члена получаем уравнение:

$x_5 = x_1 + (5-1)d$

$17 = 5 + 4d$

Решим это уравнение относительно $d$:

$4d = 17 - 5 = 12$

$d = \frac{12}{4} = 3$

Теперь найдем неизвестные значения $X$, последовательно прибавляя разность $d=3$:

$x_2 = x_1 + d = 5 + 3 = 8$

$x_3 = x_2 + d = 8 + 3 = 11$

$x_4 = x_3 + d = 11 + 3 = 14$

Таким образом, полный ряд значений для $X$: 5, 8, 11, 14, 17.

2. Нахождение неизвестных вероятностей $P$

Согласно условию, три неизвестные вероятности ($p_2, p_3, p_4$), соответствующие найденным значениям $X$, равны между собой. Обозначим их значение через $p$.

Ряд вероятностей имеет вид: $0,05; p; p; p; 0,05$.

Для любого закона распределения дискретной случайной величины сумма всех вероятностей должна быть равна 1: $\sum P_i = 1$.

Составим уравнение на основе этого свойства:

$0,05 + p + p + p + 0,05 = 1$

$0,1 + 3p = 1$

Решим уравнение относительно $p$:

$3p = 1 - 0,1 = 0,9$

$p = \frac{0,9}{3} = 0,3$

Следовательно, полный ряд вероятностей $P$: 0,05, 0,3, 0,3, 0,3, 0,05.

3. Выбор правильного варианта

На основе расчетов мы можем составить итоговую таблицу закона распределения:

Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он полностью совпадает с таблицей 50, представленной в варианте A).

Ответ: A