Страница 140 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9. Экзаменационные билеты состоят из трех вопросов. Вероятность ответа учащегося на любой вопрос равна 0,8. Случайная величина $X$ — это число вопросов, на которые может ответить учащийся. Составьте закон распределения этой величины (табл. 63—66):

Таблица 63

A) X 0 1 2 3

C) P 0,008 0,096 0,384 0,512

Таблица 64

B) X 0 1 2 3

D) p 0,512 0,096 0,384 0,008

Таблица 65

A) X 0 1 2 3

C) P 0,096 0,384 0,008 0,512

Таблица 66

B) X 0 1 2 3

D) p 0,384 0,008 0,512 0,096

Для решения задачи используется формула Бернулли, которая позволяет найти вероятность наступления события ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях. Формула имеет вид: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где:

$n$ – общее число испытаний (в данном случае, количество вопросов в билете), $n=3$.

$k$ – число наступления события (число правильных ответов).

$p$ – вероятность наступления события в одном испытании (вероятность правильного ответа на один вопрос), $p = 0,8$.

$q$ – вероятность ненаступления события (вероятность неправильного ответа), $q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2$.

$C_n^k$ – число сочетаний из $n$ по $k$, которое рассчитывается как $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Случайная величина $X$ – это число вопросов, на которые может ответить учащийся. $X$ может принимать значения {0, 1, 2, 3}. Рассчитаем вероятности для каждого из этих значений.

A) Вероятность того, что учащийся ответит на 0 вопросов ($X=0$):

Это означает, что он не ответил ни на один из трех вопросов.$P(X=0) = C_3^0 \cdot (0,8)^0 \cdot (0,2)^{3-0} = 1 \cdot 1 \cdot 0,2^3 = 0,008$.

B) Вероятность того, что учащийся ответит на 1 вопрос ($X=1$):

Это означает, что он ответил правильно на один вопрос и неправильно на два других.$P(X=1) = C_3^1 \cdot (0,8)^1 \cdot (0,2)^{3-1} = 3 \cdot 0,8 \cdot (0,2)^2 = 3 \cdot 0,8 \cdot 0,04 = 0,096$.

C) Вероятность того, что учащийся ответит на 2 вопроса ($X=2$):

Это означает, что он ответил правильно на два вопроса и неправильно на один.$P(X=2) = C_3^2 \cdot (0,8)^2 \cdot (0,2)^{3-2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} \cdot 0,64 \cdot 0,2 = 3 \cdot 0,64 \cdot 0,2 = 0,384$.

D) Вероятность того, что учащийся ответит на 3 вопроса ($X=3$):

Это означает, что он ответил правильно на все три вопроса.$P(X=3) = C_3^3 \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^{3-3} = 1 \cdot (0,8)^3 \cdot 1 = 0,512$.

Таким образом, закон распределения случайной величины $X$ имеет следующий вид:

X | 0 | 1 | 2 | 3

P | 0,008 | 0,096 | 0,384 | 0,512

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует Таблице 63.

Ответ: Таблица 63.

10. У покупателя 20 000 тг. На эту сумму до акции можно было купить два одинаковых товара, а со скидкой на эту сумму он купил четыре товара. На сколько процентов снижена цена товара во время акции:

A) 20 %; B) 30%; C) 25%; D) 50%; E) 75%?

Для решения этой задачи найдем первоначальную цену товара и цену товара во время акции.

Пусть $P_1$ — первоначальная цена одного товара. У покупателя было 20 000 тг, и на эту сумму он мог купить 2 товара. Следовательно, первоначальная цена одного товара составляла:

$P_1 = \frac{20000 \text{ тг}}{2} = 10000 \text{ тг}$

Пусть $P_2$ — цена товара со скидкой. На ту же сумму 20 000 тг покупатель приобрёл 4 товара. Следовательно, цена одного товара со скидкой стала:

$P_2 = \frac{20000 \text{ тг}}{4} = 5000 \text{ тг}$

Теперь необходимо определить, на сколько процентов была снижена цена. Для этого найдем абсолютную величину скидки и разделим её на первоначальную цену, после чего умножим на 100%.

Величина скидки в денежном выражении:

$P_1 - P_2 = 10000 \text{ тг} - 5000 \text{ тг} = 5000 \text{ тг}$

Процентное снижение цены:

$\frac{P_1 - P_2}{P_1} \times 100\% = \frac{5000}{10000} \times 100\% = 0.5 \times 100\% = 50\%$

Также можно рассуждать иначе: если за ту же сумму денег можно купить в два раза больше товара (4 вместо 2), это означает, что цена каждого товара уменьшилась ровно в два раза. Уменьшение цены в два раза соответствует скидке в 50%.

Ответ: D) 50%

11. Сколько натуральных чисел, кратных 3, принадлежат промежутку $(111; 123]$:

A) 3;

B) 4;

C) 6;

D) 5;

E) 7?

Задача состоит в том, чтобы найти количество натуральных чисел, которые делятся на 3 без остатка и находятся в промежутке (111; 123].

Промежуток (111; 123] включает в себя все числа $x$, для которых выполняется двойное неравенство $111 < x \le 123$.

Способ 1: Прямой перебор

Нам нужно найти все числа в указанном диапазоне, которые делятся на 3. Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3.

Первое натуральное число, большее 111, которое кратно 3, это 114. Это легко проверить: сумма цифр $1+1+1=3$ для числа 111, значит, оно кратно 3. Но так как неравенство строгое ($x > 111$), само число 111 не входит в промежуток. Следующее за ним кратное трем число будет $111 + 3 = 114$.

Последнее число промежутка — 123. Проверим его на кратность 3: сумма цифр $1+2+3=6$. Поскольку 6 делится на 3, то и 123 делится на 3. Это число входит в промежуток, так как неравенство нестрогое ($x \le 123$).

Теперь перечислим все числа от 114 до 123, кратные 3, прибавляя каждый раз 3:

- 114

- $114 + 3 = 117$

- $117 + 3 = 120$

- $120 + 3 = 123$

Всего получается 4 таких числа.

Способ 2: Использование арифметической прогрессии

Числа, кратные 3, образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=3$.

Первый член прогрессии ($a_1$), принадлежащий промежутку (111; 123], это 114.

Последний член прогрессии ($a_n$), принадлежащий этому промежутку, это 123.

Для нахождения количества членов $n$ воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим наши значения:

$123 = 114 + (n-1) \cdot 3$

$123 - 114 = (n-1) \cdot 3$

$9 = (n-1) \cdot 3$

$n - 1 = \frac{9}{3}$

$n - 1 = 3$

$n = 4$

Следовательно, в данном промежутке 4 числа, кратных 3.

Ответ: 4

12. Найдите число, которое на 1279 больше, чем разность наибольшего четырехзначного числа и наименьшего четырехзначного числа, составленных из цифр 9; 1; 0; 8:

A) 9000; B) 9090; C) 10 000; D) 9990; E) 9900.

Сначала найдем наибольшее и наименьшее четырехзначные числа, которые можно составить из цифр 9, 1, 0, 8.

Наибольшее четырехзначное число составляется путем расположения данных цифр в порядке убывания (от большей к меньшей).

Цифры в порядке убывания: 9, 8, 1, 0.

Следовательно, наибольшее число: 9810.

Наименьшее четырехзначное число составляется путем расположения цифр в порядке возрастания (от меньшей к большей). Однако четырехзначное число не может начинаться с нуля, поэтому на первое место нужно поставить наименьшую из оставшихся цифр — 1. Далее располагаем остальные цифры (0, 8, 9) в порядке возрастания.

Следовательно, наименьшее число: 1089.

Теперь найдем разность между наибольшим и наименьшим числами:

$9810 - 1089 = 8721$

По условию задачи, искомое число на 1279 больше, чем полученная разность. Чтобы найти его, нужно к разности прибавить 1279:

$8721 + 1279 = 10000$

Искомое число — 10 000, что соответствует варианту C).

Ответ: 10 000.

13. Для ремонта нужно купить обои. Цена на обои в трех магазинах разная, но есть скидка в каждом магазине (табл. 67).

Таблица 67

Укажите верное утверждение:

A) цена за один рулон в третьем магазине больше, чем цена в остальных магазинах;

B) цена за один рулон в третьем магазине меньше, чем цена в остальных магазинах;

C) учитывая скидки, выгодно купить обои в первом магазине;

D) стоимость двух рулонов обоев во втором магазине больше, чем стоимость двух рулонов обоев в третьем магазине;

E) стоимость двух рулонов обоев во втором магазине меньше, чем сумма цен за один рулон в первом и третьем магазинах.

Для того чтобы определить верное утверждение, необходимо сначала рассчитать цену за один рулон обоев в каждом магазине с учетом скидки. Расчет итоговой цены производится по формуле: $Цена_{итоговая} = Цена_{начальная} \times (1 - \frac{Скидка\%}{100})$.

Цена в первом магазине: $8600 \times (1 - \frac{10}{100}) = 8600 \times 0.9 = 7740$ тг.

Цена во втором магазине: $7000 \times (1 - \frac{5}{100}) = 7000 \times 0.95 = 6650$ тг.

Цена в третьем магазине: $8000 \times (1 - \frac{15}{100}) = 8000 \times 0.85 = 6800$ тг.

Теперь, имея итоговые цены ($7740$ тг, $6650$ тг и $6800$ тг), проверим каждое утверждение:

A) цена за один рулон в третьем магазине больше, чем цена в остальных магазинах;

Цена в третьем магазине ($6800$ тг) меньше цены в первом магазине ($7740$ тг). Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

B) цена за один рулон в третьем магазине меньше, чем цена в остальных магазинах;

Цена в третьем магазине ($6800$ тг) больше цены во втором магазине ($6650$ тг). Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

C) учитывая скидки, выгодно купить обои в первом магазине;

Самая выгодная (наименьшая) цена во втором магазине ($6650$ тг), а не в первом ($7740$ тг). Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

D) стоимость двух рулонов обоев во втором магазине больше, чем стоимость двух рулонов обоев в третьем магазине;

Стоимость двух рулонов во втором магазине: $2 \times 6650 = 13300$ тг. Стоимость двух рулонов в третьем магазине: $2 \times 6800 = 13600$ тг. Поскольку $13300 < 13600$, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

E) стоимость двух рулонов обоев во втором магазине меньше, чем сумма цен за один рулон в первом и третьем магазинах.

Стоимость двух рулонов во втором магазине: $2 \times 6650 = 13300$ тг. Сумма цен за один рулон в первом и третьем магазинах: $7740 + 6800 = 14540$ тг. Поскольку $13300 < 14540$, утверждение верно.

Ответ: верно.