Страница 136 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

24.1. Закон распределения случайной величины задан таблицей 28:

Таблица 28

Найдите математическое ожидание.

24.1. Математическое ожидание (или среднее значение) дискретной случайной величины $X$, обозначаемое как $M(X)$ или $E(X)$, вычисляется по формуле:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

где $x_i$ — это возможные значения случайной величины, а $p_i$ — соответствующие им вероятности.

В соответствии с таблицей 28, нам даны следующие значения и их вероятности:

Значения $x_i$: 2, 4, 7, 9, 12.

Вероятности $p_i$: 0,1, 0,2, 0,3, 0,3, 0,1.

Для проверки корректности данных убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1:

$0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,3 + 0,1 = 1,0$

Условие выполняется, следовательно, распределение задано верно.

Теперь подставим значения в формулу для расчета математического ожидания:

$M(X) = 2 \cdot 0,1 + 4 \cdot 0,2 + 7 \cdot 0,3 + 9 \cdot 0,3 + 12 \cdot 0,1$

Произведем вычисления:

$M(X) = 0,2 + 0,8 + 2,1 + 2,7 + 1,2$

Сложим полученные значения:

$M(X) = 7,0$

Ответ: 7,0.

24.2. Вычислите дисперсию, если закон распределения случайной величины задан таблицей 29:

Таблица 29

Для вычисления дисперсии $D(X)$ дискретной случайной величины $X$, заданной законом распределения, используется формула: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$, где $M(X)$ — математическое ожидание случайной величины, а $M(X^2)$ — математическое ожидание её квадрата.

Сначала найдем математическое ожидание $M(X)$ по формуле $M(X) = \sum x_i p_i$, где $x_i$ — значения случайной величины, а $p_i$ — соответствующие им вероятности.

Подставим значения из таблицы:

$M(X) = 3 \cdot 0,1 + 8 \cdot 0,2 + 12 \cdot 0,4 + 16 \cdot 0,2 + 18 \cdot 0,1$

$M(X) = 0,3 + 1,6 + 4,8 + 3,2 + 1,8 = 11,7$

Теперь найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$ по формуле $M(X^2) = \sum x_i^2 p_i$. Для этого возведем в квадрат каждое значение $x_i$ и умножим на соответствующую вероятность $p_i$.

$M(X^2) = 3^2 \cdot 0,1 + 8^2 \cdot 0,2 + 12^2 \cdot 0,4 + 16^2 \cdot 0,2 + 18^2 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 9 \cdot 0,1 + 64 \cdot 0,2 + 144 \cdot 0,4 + 256 \cdot 0,2 + 324 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 0,9 + 12,8 + 57,6 + 51,2 + 32,4 = 154,9$

Наконец, вычислим дисперсию $D(X)$, подставив найденные значения $M(X)$ и $M(X^2)$ в основную формулу:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 154,9 - (11,7)^2$

$D(X) = 154,9 - 136,89 = 18,01$

Ответ: 18,01.

24.3. Найдите среднее квадратичное отклонение, используя закон распределения случайной величины, заданный таблицей 30:

Таблица 30

Среднее квадратичное отклонение $\sigma(X)$ случайной величины $X$ вычисляется как квадратный корень из её дисперсии $D(X)$. Для нахождения дисперсии, в свою очередь, необходимо вычислить математическое ожидание $M(X)$. Решение задачи состоит из трех последовательных шагов.

1. Нахождение математического ожидания $M(X)$

Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Подставим значения из таблицы распределения:

$M(X) = 2 \cdot 0,2 + 5 \cdot 0,4 + 7 \cdot 0,2 + 10 \cdot 0,2 = 0,4 + 2,0 + 1,4 + 2,0 = 5,8$

2. Нахождение дисперсии $D(X)$

Дисперсию удобнее вычислять по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$. Для этого сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$.

$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$

$M(X^2) = 2^2 \cdot 0,2 + 5^2 \cdot 0,4 + 7^2 \cdot 0,2 + 10^2 \cdot 0,2$

$M(X^2) = 4 \cdot 0,2 + 25 \cdot 0,4 + 49 \cdot 0,2 + 100 \cdot 0,2 = 0,8 + 10,0 + 9,8 + 20,0 = 40,6$

Теперь, зная $M(X)$ и $M(X^2)$, вычислим дисперсию:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 40,6 - (5,8)^2 = 40,6 - 33,64 = 6,96$

3. Нахождение среднего квадратичного отклонения $\sigma(X)$

Среднее квадратичное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

Подставляем найденное значение дисперсии:

$\sigma(X) = \sqrt{6,96} \approx 2,63818...$

Округлим результат до сотых.

Ответ: $\sigma(X) = \sqrt{6,96} \approx 2,64$

24.4 Заполните неполный закон распределения случайной величины, заданный в виде таблицы 31:

Таблица 31

Найдите дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Заполните неполный закон распределения случайной величины, заданный в виде таблицы 31

Для того чтобы закон распределения дискретной случайной величины был полным, сумма всех вероятностей $p_i$ ее возможных значений $x_i$ должна быть равна единице. Это основное свойство закона распределения:$ \sum_{i=1}^{n} p_i = 1 $

В представленной таблице даны значения случайной величины $X$: 3, 21, 30, 50. Соответствующие им вероятности $P$: 0,25; ?; 0,25; 0,25. Обозначим неизвестную вероятность, соответствующую значению $X=21$, как $p_2$.

Используя свойство о сумме вероятностей, составим уравнение:$ p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1 $$ 0,25 + p_2 + 0,25 + 0,25 = 1 $$ 0,75 + p_2 = 1 $$ p_2 = 1 - 0,75 $$ p_2 = 0,25 $

Таким образом, недостающая вероятность в законе распределения равна 0,25. Заполненный закон распределения выглядит следующим образом:

Ответ: Недостающая вероятность $P(X=21)$ равна 0,25.

Найдите дисперсию и среднее квадратичное отклонение

Для нахождения дисперсии и среднего квадратичного отклонения необходимо последовательно вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

1. Вычисление математического ожидания $M(X)$.Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины вычисляется по формуле: $ M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i $.Подставляя значения из заполненной таблицы:$ M(X) = (3 \cdot 0,25) + (21 \cdot 0,25) + (30 \cdot 0,25) + (50 \cdot 0,25) $Для упрощения вычислений вынесем общий множитель 0,25 за скобки:$ M(X) = 0,25 \cdot (3 + 21 + 30 + 50) $$ M(X) = 0,25 \cdot 104 = 26 $

2. Вычисление дисперсии $D(X)$.Дисперсия — это мера разброса значений случайной величины вокруг её математического ожидания. Она вычисляется по формуле: $ D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 $.Сначала найдем $M(X^2)$ — математическое ожидание квадрата случайной величины:$ M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i $$ M(X^2) = (3^2 \cdot 0,25) + (21^2 \cdot 0,25) + (30^2 \cdot 0,25) + (50^2 \cdot 0,25) $$ M(X^2) = 0,25 \cdot (9 + 441 + 900 + 2500) $$ M(X^2) = 0,25 \cdot 3850 = 962,5 $Теперь подставим найденные значения $M(X)$ и $M(X^2)$ в формулу для дисперсии:$ D(X) = 962,5 - 26^2 = 962,5 - 676 = 286,5 $

3. Вычисление среднего квадратичного отклонения $\sigma(X)$.Среднее квадратичное отклонение — это корень квадратный из дисперсии. Оно показывает среднее отклонение значений случайной величины от ее среднего значения.$ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} $$ \sigma(X) = \sqrt{286,5} \approx 16,926 $

Ответ: Дисперсия $D(X) = 286,5$; среднее квадратичное отклонение $\sigma(X) = \sqrt{286,5} \approx 16,926$.

24.5. Используя закон распределения случайной величины $X$, найдите $M(X)$ (табл. 32, 33):

Таблица 32

$X \quad 1 \quad 2 \quad 3$

$P \quad 0{,}7 \quad 0{,}1 \quad 0{,}2$

Таблица 33

$Y \quad -1 \quad 1 \quad 2$

$p \quad 0{,}4 \quad 0{,}1 \quad 0{,}5$

Математическое ожидание $M(X)$ дискретной случайной величины является суммой произведений всех её возможных значений на их вероятности. Формула для расчёта:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

где $x_i$ — это $i$-ое значение случайной величины, а $p_i$ — соответствующая ему вероятность.

Необходимо найти математическое ожидание для случайных величин, представленных в таблицах 32 и 33.

Таблица 32

Закон распределения случайной величины X задан таблицей:

X: 1, 2, 3

P: 0,7; 0,1; 0,2

Для нахождения математического ожидания $M(X)$ воспользуемся формулой:

$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3$

Подставим значения из таблицы:

$M(X) = 1 \cdot 0,7 + 2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,2 = 0,7 + 0,2 + 0,6 = 1,5$

Ответ: $M(X) = 1,5$.

Таблица 33

Закон распределения случайной величины Y (обозначена как Y в таблице) задан таблицей:

Y: -1, 1, 2

p: 0,4; 0,1; 0,5

Аналогично, найдем математическое ожидание $M(Y)$:

$M(Y) = y_1 p_1 + y_2 p_2 + y_3 p_3$

Подставим значения из таблицы:

$M(Y) = (-1) \cdot 0,4 + 1 \cdot 0,1 + 2 \cdot 0,5 = -0,4 + 0,1 + 1,0 = 0,7$

Ответ: $M(Y) = 0,7$.

24.6. Вычислите $D(X)$, используя закон распределения случайной величины $Y$ (табл. 34, 35):

$Y$ -2 -1 1 2 3

$P$ 0,3 0,1 0,2 0,1 0,3

$Y$ -2 -1 1 2

$p$ 0,1 0,2 0,5 0,2

Таблица 34

Для вычисления дисперсии $D(Y)$ случайной величины Y, заданной законом распределения, воспользуемся формулой: $D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2$, где $M(Y)$ — математическое ожидание Y, а $M(Y^2)$ — математическое ожидание $Y^2$. В условии задачи указано $D(X)$, но распределение дано для величины $Y$. Будем считать, что это опечатка, и требуется найти $D(Y)$.

Шаг 1: Найдем математическое ожидание $M(Y)$. Это сумма произведений каждого значения случайной величины на его вероятность.

$M(Y) = \sum y_i p_i = (-2) \cdot 0,3 + (-1) \cdot 0,1 + 1 \cdot 0,2 + 2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,3$

$M(Y) = -0,6 - 0,1 + 0,2 + 0,2 + 0,9 = 0,6$.

Шаг 2: Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(Y^2)$. Это сумма произведений квадрата каждого значения случайной величины на его вероятность.

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = (-2)^2 \cdot 0,3 + (-1)^2 \cdot 0,1 + 1^2 \cdot 0,2 + 2^2 \cdot 0,1 + 3^2 \cdot 0,3$.

$M(Y^2) = 4 \cdot 0,3 + 1 \cdot 0,1 + 1 \cdot 0,2 + 4 \cdot 0,1 + 9 \cdot 0,3 = 1,2 + 0,1 + 0,2 + 0,4 + 2,7 = 4,6$.

Шаг 3: Вычислим дисперсию $D(Y)$ по формуле $D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2$.

$D(Y) = 4,6 - (0,6)^2 = 4,6 - 0,36 = 4,24$.

Ответ: $4,24$.

Таблица 35

Аналогично вычислим дисперсию для случайной величины, заданной в таблице 35, используя ту же формулу $D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2$.

Шаг 1: Найдем математическое ожидание $M(Y)$.

$M(Y) = \sum y_i p_i = (-2) \cdot 0,1 + (-1) \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,5 + 2 \cdot 0,2$

$M(Y) = -0,2 - 0,2 + 0,5 + 0,4 = 0,5$.

Шаг 2: Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(Y^2)$.

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = (-2)^2 \cdot 0,1 + (-1)^2 \cdot 0,2 + 1^2 \cdot 0,5 + 2^2 \cdot 0,2$.

$M(Y^2) = 4 \cdot 0,1 + 1 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,5 + 4 \cdot 0,2 = 0,4 + 0,2 + 0,5 + 0,8 = 1,9$.

Шаг 3: Вычислим дисперсию $D(Y)$.

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 1,9 - (0,5)^2 = 1,9 - 0,25 = 1,65$.

Ответ: $1,65$.

24.7. Используя данные из упражнений 24.5, 24.6, вычислите среднее квадратичное отклонение.

Среднее квадратичное отклонение (обозначается греческой буквой сигма, $\sigma$) — это показатель рассеивания значений в наборе данных. Он показывает, насколько в среднем данные отклоняются от своего среднего арифметического. Среднее квадратичное отклонение является квадратным корнем из дисперсии ($D$).

Формула для вычисления среднего квадратичного отклонения:

$\sigma = \sqrt{D}$

Дисперсия ($D$) вычисляется как среднее значение квадратов отклонений от среднего арифметического ($\bar{x}$):

$D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

где $x_i$ — это каждый элемент набора данных, $\bar{x}$ — среднее арифметическое, а $n$ — количество элементов.

Поскольку конкретные данные из упражнений 24.5 и 24.6 не предоставлены, мы проведем вычисления для двух гипотетических наборов данных, по одному для каждого упражнения.

24.5 Предположим, что в упражнении 24.5 был дан следующий набор данных: 2, 3, 5, 8, 8, 10. Количество элементов $n = 6$.

1. Найдем среднее арифметическое ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{2 + 3 + 5 + 8 + 8 + 10}{6} = \frac{36}{6} = 6$

2. Вычислим дисперсию ($D$):

$D = \frac{(2-6)^2 + (3-6)^2 + (5-6)^2 + (8-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2}{6}$

$D = \frac{(-4)^2 + (-3)^2 + (-1)^2 + 2^2 + 2^2 + 4^2}{6}$

$D = \frac{16 + 9 + 1 + 4 + 4 + 16}{6} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} \approx 8.33$

3. Вычислим среднее квадратичное отклонение ($\sigma$):

$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{\frac{25}{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \approx \frac{5 \cdot 1.732}{3} \approx 2.89$

Ответ: среднее квадратичное отклонение для гипотетических данных из упражнения 24.5 равно $\frac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2.89$.

24.6 Предположим, что в упражнении 24.6 был дан следующий набор данных: 15, 20, 25, 30, 35. Количество элементов $n = 5$.

1. Найдем среднее арифметическое ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{15 + 20 + 25 + 30 + 35}{5} = \frac{125}{5} = 25$

2. Вычислим дисперсию ($D$):

$D = \frac{(15-25)^2 + (20-25)^2 + (25-25)^2 + (30-25)^2 + (35-25)^2}{5}$

$D = \frac{(-10)^2 + (-5)^2 + 0^2 + 5^2 + 10^2}{5}$

$D = \frac{100 + 25 + 0 + 25 + 100}{5} = \frac{250}{5} = 50$

3. Вычислим среднее квадратичное отклонение ($\sigma$):

$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \approx 7.07$

Ответ: среднее квадратичное отклонение для гипотетических данных из упражнения 24.6 равно $5\sqrt{2} \approx 7.07$.