Страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Найдите значение функции $y = f(x)$ в заданных точках:

a) $f(x) = 0,5 x - 4,9$; $x = 0; 2; 9;$

б) $f(x) = x - x^2$; $x = \frac{1}{2}; -\frac{1}{2}; 7;$

в) $f(x) = x^2 + 2$; $x = 1; -1; -3;$

г) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 5}$; $x = -4; -6; 0.$

а) Чтобы найти значения функции $f(x) = 0,5x - 4,9$ в заданных точках, подставим значения $x$ в формулу функции.

При $x = 0$:

$f(0) = 0,5 \cdot 0 - 4,9 = 0 - 4,9 = -4,9$.

При $x = 2$:

$f(2) = 0,5 \cdot 2 - 4,9 = 1 - 4,9 = -3,9$.

При $x = 9$:

$f(9) = 0,5 \cdot 9 - 4,9 = 4,5 - 4,9 = -0,4$.

Ответ: -4,9; -3,9; -0,4.

б) Чтобы найти значения функции $f(x) = x - x^2$ в заданных точках, подставим значения $x$ в формулу функции.

При $x = \frac{1}{2}$:

$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.

При $x = -\frac{1}{2}$:

$f(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = -\frac{2}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{3}{4}$.

При $x = 7$:

$f(7) = 7 - 7^2 = 7 - 49 = -42$.

Ответ: $\frac{1}{4}$; $-\frac{3}{4}$; -42.

в) Чтобы найти значения функции $f(x) = x^2 + 2$ в заданных точках, подставим значения $x$ в формулу функции.

При $x = 1$:

$f(1) = 1^2 + 2 = 1 + 2 = 3$.

При $x = -1$:

$f(-1) = (-1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$.

При $x = -3$:

$f(-3) = (-3)^2 + 2 = 9 + 2 = 11$.

Ответ: 3; 3; 11.

г) Чтобы найти значения функции $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 5}$ в заданных точках, подставим значения $x$ в формулу функции.

При $x = -4$:

$f(-4) = \frac{(-4)^2 - 1}{-4 + 5} = \frac{16 - 1}{1} = \frac{15}{1} = 15$.

При $x = -6$:

$f(-6) = \frac{(-6)^2 - 1}{-6 + 5} = \frac{36 - 1}{-1} = -35$.

При $x = 0$:

$f(0) = \frac{0^2 - 1}{0 + 5} = \frac{-1}{5} = -0,2$.

Ответ: 15; -35; -0,2.

$x+3$

2. Вычислите $f(0)$, $f(\frac{\pi}{3})$, $f(-\pi)$, если:

а) $f(x) = \sin 3x - x;$

б) $f(x) = 5 \tan x - 5\sqrt{3};$

в) $f(x) = \cos 2x - \sin x;$

г) $f(x) = \frac{x}{\cos x}.$

3. Найдите значение выражения:

а) Для функции $f(x) = \sin 3x - x$ вычислим значения:

$f(0) = \sin(3 \cdot 0) - 0 = \sin(0) - 0 = 0$.

$f(\frac{\pi}{3}) = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{3} = \sin(\pi) - \frac{\pi}{3} = 0 - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$.

$f(-\pi) = \sin(3 \cdot (-\pi)) - (-\pi) = \sin(-3\pi) + \pi = -\sin(3\pi) + \pi = 0 + \pi = \pi$.

Ответ: $f(0)=0$; $f(\frac{\pi}{3})=-\frac{\pi}{3}$; $f(-\pi)=\pi$.

б) Для функции $f(x) = 5 \tg x - 5\sqrt{3}$ вычислим значения:

$f(0) = 5 \tg(0) - 5\sqrt{3} = 5 \cdot 0 - 5\sqrt{3} = -5\sqrt{3}$.

$f(\frac{\pi}{3}) = 5 \tg(\frac{\pi}{3}) - 5\sqrt{3} = 5 \cdot \sqrt{3} - 5\sqrt{3} = 0$.

$f(-\pi) = 5 \tg(-\pi) - 5\sqrt{3} = -5 \tg(\pi) - 5\sqrt{3} = -5 \cdot 0 - 5\sqrt{3} = -5\sqrt{3}$.

Ответ: $f(0)=-5\sqrt{3}$; $f(\frac{\pi}{3})=0$; $f(-\pi)=-5\sqrt{3}$.

в) Для функции $f(x) = \cos 2x - \sin x$ вычислим значения:

$f(0) = \cos(2 \cdot 0) - \sin(0) = \cos(0) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.

$f(\frac{\pi}{3}) = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1+\sqrt{3}}{2}$.

$f(-\pi) = \cos(2 \cdot (-\pi)) - \sin(-\pi) = \cos(-2\pi) + \sin(\pi) = 1 + 0 = 1$.

Ответ: $f(0)=1$; $f(\frac{\pi}{3})=-\frac{1+\sqrt{3}}{2}$; $f(-\pi)=1$.

г) Для функции $f(x) = \frac{x}{\cos x}$ вычислим значения:

$f(0) = \frac{0}{\cos(0)} = \frac{0}{1} = 0$.

$f(\frac{\pi}{3}) = \frac{\frac{\pi}{3}}{\cos(\frac{\pi}{3})} = \frac{\frac{\pi}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2\pi}{3}$.

$f(-\pi) = \frac{-\pi}{\cos(-\pi)} = \frac{-\pi}{\cos(\pi)} = \frac{-\pi}{-1} = \pi$.

Ответ: $f(0)=0$; $f(\frac{\pi}{3})=\frac{2\pi}{3}$; $f(-\pi)=\pi$.

3. Найдите значение выражения:

a) $\arccos(-1) - 5 \operatorname{arctg} 1 - \arcsin(-1);$

б) $\arcsin 1 + 6 \operatorname{arcctg} 1 - \arccos \left(-\frac{1}{2}\right);$

в) $\operatorname{arctg}(-1) - \operatorname{arcctg}(-1) - 6 \arccos 0;$

г) $\operatorname{arcctg} 1 \cdot \arccos 1 + \operatorname{arcctg} \sqrt{3} \cdot \arcsin 0;$

д) $\frac{6}{\pi}\left(\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\operatorname{arctg}\left(\sqrt{3}\right)\right);$

е) $-\frac{6}{\pi}\left(\operatorname{arctg} \sqrt{3}-\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right).$

а) $arccos(−1)−5 arctg(1)−arcsin(−1)$

Для решения найдем значения каждого из арк-функций:

$arccos(−1)$ — это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-1$. Этот угол равен $\pi$.

$arctg(1)$ — это угол из интервала $(−\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $1$. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$.

$arcsin(−1)$ — это угол из отрезка $[−\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-1$. Этот угол равен $−\frac{\pi}{2}$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$\pi - 5 \cdot \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi - \frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $4$:

$\frac{4\pi}{4} - \frac{5\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{4\pi - 5\pi + 2\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

б) $arcsin(1) + 6 arcctg(1) − arccos(−\frac{1}{2})$

Найдем значения каждой из арк-функций:

$arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$

$arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$

$arccos(−\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

Подставим значения в выражение:

$\frac{\pi}{2} + 6 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} = 2\pi - \frac{2\pi}{3}$

Приведем к общему знаменателю $3$:

$\frac{6\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$

Ответ: $\frac{4\pi}{3}$

в) $arctg(−1)−arcctg(−1)−6 arccos(0)$

Найдем значения каждой из арк-функций:

$arctg(−1) = -\frac{\pi}{4}$

$arcctg(−1) = \pi - arcctg(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

$arccos(0) = \frac{\pi}{2}$

Подставим значения в выражение:

$-\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} - 6 \cdot \frac{\pi}{2} = -\frac{4\pi}{4} - 3\pi = -\pi - 3\pi = -4\pi$

Ответ: $-4\pi$

г) $arcctg(1) \cdot arccos(1) + arcctg(\sqrt{3}) \cdot arcsin(0)$

Найдем значения каждой из арк-функций:

$arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$

$arccos(1) = 0$

$arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$

$arcsin(0) = 0$

Подставим значения в выражение:

$\frac{\pi}{4} \cdot 0 + \frac{\pi}{6} \cdot 0 = 0 + 0 = 0$

Ответ: $0$

д) $\frac{6}{\pi}(arccos(−\frac{\sqrt{3}}{2})+arcsin(−\frac{\sqrt{3}}{2})+arctg(\sqrt{3}))$

Воспользуемся тождеством $arcsin(x) + arccos(x) = \frac{\pi}{2}$.

Для $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеем $arccos(−\frac{\sqrt{3}}{2})+arcsin(−\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{2}$.

Найдем значение оставшейся функции:

$arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$

Подставим значения в выражение:

$\frac{6}{\pi}(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) = \frac{6}{\pi}(\frac{3\pi + 2\pi}{6}) = \frac{6}{\pi}(\frac{5\pi}{6}) = 5$

Ответ: $5$

е) $-\frac{6}{\pi}(arctg(\sqrt{3})−arcsin(−\frac{\sqrt{2}}{2})−arccos(−\frac{\sqrt{2}}{2}))$

Найдем значения каждой из арк-функций в скобках:

$arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$

$arcsin(−\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$

$arccos(−\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

Подставим значения в выражение в скобках:

$\frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{4}) - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2}$

Приведем к общему знаменателю $6$:

$\frac{2\pi - 3\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$

Теперь умножим полученный результат на коэффициент перед скобками:

$-\frac{6}{\pi} \cdot (-\frac{\pi}{6}) = 1$

Ответ: $1$

4. Найдите предел функции $y = f(x)$ при $x \to x_0$:а) $f(x) = x^2 - 1, x \to 1;$б) $f(x) = \sin^2 x, x \to \frac{3\pi}{2};$В) $f(x) = \frac{x^2 - 7x + 6}{x - 6}, x \to 6;$Г) $f(x) = \frac{x^2 - 9x + 14}{x^2 - 49}, x \to 7.$

а) Требуется найти предел функции $f(x) = x^2 - 1$ при $x \to 1$.

Поскольку функция $f(x) = x^2 - 1$ является многочленом, она непрерывна на всей числовой оси. Для нахождения предела непрерывной функции в точке достаточно подставить значение этой точки в функцию.

$\lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.

Ответ: 0

б) Требуется найти предел функции $f(x) = \sin^2x$ при $x \to \frac{3\pi}{2}$.

Функция $f(x) = \sin^2x$ непрерывна на всей числовой оси. Поэтому предел функции при $x \to \frac{3\pi}{2}$ равен значению функции в этой точке.

$\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}} \sin^2x = \left(\sin\frac{3\pi}{2}\right)^2$.

Мы знаем, что значение синуса в точке $\frac{3\pi}{2}$ равно -1.

$\left(\sin\frac{3\pi}{2}\right)^2 = (-1)^2 = 1$.

Ответ: 1

в) Требуется найти предел функции $f(x) = \frac{x^2 - 7x + 6}{x - 6}$ при $x \to 6$.

При попытке прямой подстановки значения $x = 6$ в выражение мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

Числитель: $6^2 - 7 \cdot 6 + 6 = 36 - 42 + 6 = 0$.

Знаменатель: $6 - 6 = 0$.

Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант), корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.

Следовательно, квадратный трехчлен можно представить в виде: $x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6)$.

Теперь подставим это разложение в исходный предел и сократим дробь на множитель $(x - 6)$, поскольку при $x \to 6$ переменная $x$ не равна 6, а значит $x - 6 \ne 0$.

$\lim_{x \to 6} \frac{x^2 - 7x + 6}{x - 6} = \lim_{x \to 6} \frac{(x - 1)(x - 6)}{x - 6} = \lim_{x \to 6} (x - 1)$.

Теперь мы можем найти предел, подставив значение $x = 6$:

$\lim_{x \to 6} (x - 1) = 6 - 1 = 5$.

Ответ: 5

г) Требуется найти предел функции $f(x) = \frac{x^2 - 9x + 14}{x^2 - 49}$ при $x \to 7$.

Прямая подстановка значения $x = 7$ приводит к неопределенности вида $\frac{0}{0}$:

Числитель: $7^2 - 9 \cdot 7 + 14 = 49 - 63 + 14 = 0$.

Знаменатель: $7^2 - 49 = 49 - 49 = 0$.

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители.

Для числителя $x^2 - 9x + 14 = 0$, найдем корни. По теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = 7$. Таким образом, $x^2 - 9x + 14 = (x - 2)(x - 7)$.

Знаменатель $x^2 - 49$ является разностью квадратов: $x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$.

Подставим разложения в предел:

$\lim_{x \to 7} \frac{x^2 - 9x + 14}{x^2 - 49} = \lim_{x \to 7} \frac{(x - 2)(x - 7)}{(x - 7)(x + 7)}$.

Сократим общий множитель $(x - 7)$:

$\lim_{x \to 7} \frac{x - 2}{x + 7}$.

Теперь подставим предельное значение $x = 7$:

$\frac{7 - 2}{7 + 7} = \frac{5}{14}$.

Ответ: $\frac{5}{14}$

5. Найдите приближенное значение приращения функции:

а) $f(x) = x^3 - 5x^2 + 80$ при $x_0 = 4$, $\Delta x = 0,001$;

б) $f(x) = \sqrt{2x^2 + 7}$ при $x_0 = 3$ и $\Delta x = 0,1$.

а) $f(x) = x^3 - 5x^2 + 80$ при $x_0 = 4, \Delta x = 0,001$;

1. Найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (x^3 - 5x^2 + 80)' = 3x^2 - 10x$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 4$.

$f'(4) = 3 \cdot 4^2 - 10 \cdot 4 = 3 \cdot 16 - 40 = 48 - 40 = 8$.

3. Подставим найденные значения в формулу для приближенного приращения.

$\Delta f \approx f'(4) \cdot \Delta x = 8 \cdot 0,001 = 0,008$.

Ответ: $\Delta f \approx 0,008$.

б) $f(x) = \sqrt{2x^2 + 7}$ при $x_0 = 3$ и $\Delta x = 0,1$.

1. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции.

$f'(x) = (\sqrt{2x^2 + 7})' = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 + 7}} \cdot (2x^2 + 7)' = \frac{4x}{2\sqrt{2x^2 + 7}} = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 7}}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$.

$f'(3) = \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{2 \cdot 3^2 + 7}} = \frac{6}{\sqrt{2 \cdot 9 + 7}} = \frac{6}{\sqrt{18 + 7}} = \frac{6}{\sqrt{25}} = \frac{6}{5} = 1,2$.

3. Подставим найденные значения в формулу для приближенного приращения.

$\Delta f \approx f'(3) \cdot \Delta x = 1,2 \cdot 0,1 = 0,12$.

Ответ: $\Delta f \approx 0,12$.

6. Сторона квадрата равна 5 см. Найдите приближенное приращение его площади при увеличении стороны на 0,01 см.

Пусть $a$ — сторона квадрата, а $S$ — его площадь. Тогда площадь является функцией стороны: $S(a) = a^2$.

Приращение площади $\Delta S$ при малом приращении стороны $\Delta a$ можно приближенно найти с помощью дифференциала функции $S(a)$. Формула для приближенного вычисления приращения функции имеет вид:

$\Delta S \approx dS = S'(a) \cdot \Delta a$

где $S'(a)$ — производная функции площади, а $\Delta a$ — приращение стороны.

1. Найдем производную функции $S(a) = a^2$ по переменной $a$:

$S'(a) = (a^2)' = 2a$

2. Согласно условию задачи, начальная сторона квадрата $a = 5$ см, а ее приращение (увеличение) $\Delta a = 0,01$ см.

3. Подставим значения $a$ и $\Delta a$ в формулу для дифференциала, чтобы найти приближенное приращение площади:

$\Delta S \approx S'(5) \cdot 0,01 = (2 \cdot 5) \cdot 0,01 = 10 \cdot 0,01 = 0,1$

Следовательно, приближенное приращение площади квадрата составляет $0,1$ см$^2$.

Ответ: $0,1 \text{ см}^2$.

7. Вычислите производную функции:

а) $f(x) = x^2 + 0.5 x;$

б) $f(x) = -3x^3 + 10x^2;$

в) $f(x) = x + 10\sqrt{x};$

г) $f(x) = \sin x - \cos x + 5;$

д) $f(x) = \frac{x^3}{x^3 + 1};$

е) $f(x) = \frac{x^4 - 1}{x^4 + 1}.$

а) $f(x) = x^2 + 0,5x$

Для нахождения производной суммы функций используем правило дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$. Также применяем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вынесения константы $(cf(x))' = c \cdot f'(x)$.

$f'(x) = (x^2 + 0,5x)' = (x^2)' + (0,5x)' = 2x^{2-1} + 0,5 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 2x + 0,5$.

Ответ: $f'(x) = 2x + 0,5$.

б) $f(x) = -3x^3 + 10x^2$

Используем те же правила, что и в пункте а): правило дифференцирования суммы, правило вынесения константы и формулу производной степенной функции.

$f'(x) = (-3x^3 + 10x^2)' = (-3x^3)' + (10x^2)' = -3 \cdot (x^3)' + 10 \cdot (x^2)' = -3 \cdot 3x^2 + 10 \cdot 2x = -9x^2 + 20x$.

Ответ: $f'(x) = -9x^2 + 20x$.

в) $f(x) = x + 10\sqrt{x}$

Представим корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Тогда функция примет вид $f(x) = x + 10x^{1/2}$.

Применяем правила дифференцирования:

$f'(x) = (x + 10x^{1/2})' = (x)' + (10x^{1/2})' = 1 + 10 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = 1 + 5x^{-1/2}$.

Возвращаемся к записи с корнем: $x^{-1/2} = \frac{1}{x^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Следовательно, $f'(x) = 1 + \frac{5}{\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = 1 + \frac{5}{\sqrt{x}}$.

г) $f(x) = \sin x - \cos x + 5$

Используем правило дифференцирования суммы/разности и производные тригонометрических функций и константы: $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(C)' = 0$.

$f'(x) = (\sin x - \cos x + 5)' = (\sin x)' - (\cos x)' + (5)' = \cos x - (-\sin x) + 0 = \cos x + \sin x$.

Ответ: $f'(x) = \cos x + \sin x$.

д) $f(x) = \frac{x^3}{x^3 + 1}$

Для нахождения производной частного используем формулу $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае $u = x^3$, $v = x^3 + 1$.

Находим производные числителя и знаменателя: $u' = (x^3)' = 3x^2$, $v' = (x^3 + 1)' = 3x^2$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{(x^3)'(x^3 + 1) - x^3(x^3 + 1)'}{(x^3 + 1)^2} = \frac{3x^2(x^3 + 1) - x^3(3x^2)}{(x^3 + 1)^2}$.

Упрощаем числитель:

$3x^2(x^3 + 1) - 3x^5 = 3x^5 + 3x^2 - 3x^5 = 3x^2$.

Таким образом, $f'(x) = \frac{3x^2}{(x^3 + 1)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3x^2}{(x^3 + 1)^2}$.

е) $f(x) = \frac{x^4 - 1}{x^4 + 1}$

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u = x^4 - 1$, $v = x^4 + 1$.

Производные числителя и знаменателя: $u' = (x^4 - 1)' = 4x^3$, $v' = (x^4 + 1)' = 4x^3$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{(4x^3)(x^4 + 1) - (x^4 - 1)(4x^3)}{(x^4 + 1)^2}$.

Выносим общий множитель $4x^3$ в числителе:

$f'(x) = \frac{4x^3((x^4 + 1) - (x^4 - 1))}{(x^4 + 1)^2} = \frac{4x^3(x^4 + 1 - x^4 + 1)}{(x^4 + 1)^2} = \frac{4x^3(2)}{(x^4 + 1)^2} = \frac{8x^3}{(x^4 + 1)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{8x^3}{(x^4 + 1)^2}$.

8. Найдите значение производной функции $y = f(x)$ в заданных точках:

а) $f(x) = x^2 - 6x$; $x = 0;

б) $f(x) = x \cdot \operatorname{tg}x$; $x = \pi;

В) $f(x) = \frac{x}{x+1}$; $x = 2;

Г) $f(x) = \frac{x-1}{x}$; $x = -2.

9. Вычислите производную функ

а) Для того чтобы найти значение производной функции $f(x) = x^2 - 6x$ в точке $x = 0$, сначала найдем ее производную. Используя правила дифференцирования для степенной функции и разности функций, получаем:

$f'(x) = (x^2 - 6x)' = (x^2)' - (6x)' = 2x - 6$.

Теперь подставим значение $x = 0$ в найденное выражение для производной:

$f'(0) = 2 \cdot 0 - 6 = -6$.

Ответ: -6

б) Для функции $f(x) = x \cdot \operatorname{tg}x$ найдем производную, используя правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Пусть $u = x$ и $v = \operatorname{tg}x$. Тогда $u' = 1$ и $v' = (\operatorname{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2x}$.

Производная функции будет равна:

$f'(x) = (x)' \cdot \operatorname{tg}x + x \cdot (\operatorname{tg}x)' = 1 \cdot \operatorname{tg}x + x \cdot \frac{1}{\cos^2x} = \operatorname{tg}x + \frac{x}{\cos^2x}$.

Вычислим значение производной в точке $x = \pi$:

$f'(\pi) = \operatorname{tg}(\pi) + \frac{\pi}{\cos^2(\pi)}$.

Так как $\operatorname{tg}(\pi) = 0$ и $\cos(\pi) = -1$, то $\cos^2(\pi) = (-1)^2 = 1$.

Следовательно, $f'(\pi) = 0 + \frac{\pi}{1} = \pi$.

Ответ: $\pi$

в) Для функции $f(x) = \frac{x}{x+1}$ найдем производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u = x$ и $v = x+1$. Тогда $u' = 1$ и $v' = 1$.

Производная функции равна:

$f'(x) = \frac{(x)'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x = 2$:

$f'(2) = \frac{1}{(2+1)^2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$

г) Для функции $f(x) = \frac{x-1}{x}$ найдем производную. Можно упростить функцию перед дифференцированием: $f(x) = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = 1 - x^{-1}$.

Теперь найдем производную:

$f'(x) = (1 - x^{-1})' = (1)' - (x^{-1})' = 0 - (-1)x^{-2} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Найдем значение производной в точке $x = -2$:

$f'(-2) = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$