Страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

20. Какой должна быть наименьшая длина ограды, которой можно было бы огородить прямоугольный участок площадью $400 \text{ м}^2$?

Пусть $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольного участка в метрах.

Площадь участка $S$ задана и равна 400 м². Формула площади для прямоугольника: $S = a \cdot b$

Таким образом, мы имеем соотношение: $a \cdot b = 400$

Длина ограды — это периметр $P$ прямоугольного участка. Мы ищем его наименьшее возможное значение. Формула периметра: $P = 2(a + b)$

Чтобы найти наименьшее значение периметра, мы можем выразить одну переменную через другую, используя уравнение площади. Выразим $b$ через $a$: $b = \frac{400}{a}$

Теперь подставим это выражение в формулу периметра, чтобы получить функцию, зависящую только от одной переменной $a$: $P(a) = 2 \left( a + \frac{400}{a} \right)$

Для нахождения минимума этой функции, найдем ее производную по переменной $a$ и приравняем ее к нулю. $P'(a) = \left( 2a + \frac{800}{a} \right)' = 2 - \frac{800}{a^2}$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $2 - \frac{800}{a^2} = 0$

Решим полученное уравнение: $2 = \frac{800}{a^2}$ $2a^2 = 800$ $a^2 = 400$ $a = \sqrt{400} = 20$ (длина стороны не может быть отрицательной).

Найденное значение $a = 20$ является точкой минимума, так как при этой длине стороны периметр будет наименьшим. Найдем длину второй стороны $b$: $b = \frac{400}{a} = \frac{400}{20} = 20$ м.

Следовательно, участок с наименьшим периметром при заданной площади в 400 м² является квадратом со стороной 20 м.

Теперь вычислим наименьшую длину ограды (минимальный периметр): $P_{min} = 2(a + b) = 2(20 + 20) = 2 \cdot 40 = 80$ м.

Ответ: 80 м.

21. Разложите число 5 на два слагаемых, сумма кубов которых будет наименьшей.

Пусть искомые слагаемые равны $x$ и $y$. По условию задачи их сумма равна 5, то есть:

$x + y = 5$

Из этого уравнения выразим одно слагаемое через другое, например $y$ через $x$:

$y = 5 - x$

Нам необходимо минимизировать сумму кубов этих слагаемых. Составим функцию $S(x)$, представляющую эту сумму, как функцию от переменной $x$:

$S(x) = x^3 + y^3 = x^3 + (5 - x)^3$

Для нахождения точки минимума функции $S(x)$, необходимо найти ее первую производную и приравнять ее к нулю. Найдем производную $S'(x)$:

$S'(x) = (x^3 + (5 - x)^3)'$

Используя правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$S'(x) = (x^3)' + ((5 - x)^3)' = 3x^2 + 3(5 - x)^2 \cdot (5-x)' = 3x^2 + 3(5 - x)^2 \cdot (-1) = 3x^2 - 3(5 - x)^2$

Теперь приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$3x^2 - 3(5 - x)^2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 - (5 - x)^2 = 0$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - (5 - x))(x + (5 - x)) = 0$

$(x - 5 + x)(5) = 0$

$5(2x - 5) = 0$

$2x - 5 = 0$

$x = 2.5$

Мы нашли одну критическую точку $x = 2.5$. Чтобы определить, является ли она точкой минимума, исследуем знак производной или найдем вторую производную. Найдем вторую производную $S''(x)$:

$S''(x) = (3x^2 - 3(5 - x)^2)' = (3x^2 - 3(25 - 10x + x^2))' = (3x^2 - 75 + 30x - 3x^2)' = (30x - 75)' = 30$

Поскольку вторая производная $S''(x) = 30$ является положительной константой ($30 > 0$), то функция $S(x)$ вогнута на всей числовой оси, и найденная критическая точка $x = 2.5$ является точкой глобального минимума.

Итак, первое слагаемое равно $x = 2.5$.

Найдем второе слагаемое:

$y = 5 - x = 5 - 2.5 = 2.5$

Следовательно, для того чтобы сумма кубов была наименьшей, число 5 нужно разложить на два равных слагаемых.

Ответ: 2.5 и 2.5.

22. Сумма основания и высоты прямоугольного треугольника равна 12 см. Каким должно быть основание, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

Обозначим основание треугольника как $a$, а высоту, проведенную к этому основанию, как $h$. В случае прямоугольного треугольника в качестве основания и высоты можно взять его катеты.

По условию задачи, сумма основания и высоты равна 12 см:

$a + h = 12$

Из этого соотношения мы можем выразить высоту $h$ через основание $a$:

$h = 12 - a$

Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$

Чтобы найти, при каком значении $a$ площадь будет наибольшей, подставим выражение для $h$ в формулу площади. Это позволит нам получить функцию площади $S(a)$, которая зависит только от одной переменной — длины основания $a$.

$S(a) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (12 - a) = \frac{1}{2}(12a - a^2) = 6a - \frac{1}{2}a^2$

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = -\frac{1}{2}a^2 + 6a$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, поскольку коэффициент при $a^2$ отрицательный ($-\frac{1}{2} < 0$). Наибольшее значение такой функции достигается в вершине параболы.

Координату вершины параболы вида $y = kx^2 + mx + n$ по оси абсцисс можно найти по формуле $x_0 = -\frac{m}{2k}$.

В нашем случае переменная — это $a$, а коэффициенты: $k = -\frac{1}{2}$ и $m = 6$. Найдем значение $a$, при котором площадь $S$ будет максимальной:

$a_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{6}{-1} = 6$

Следовательно, площадь треугольника будет наибольшей, когда его основание равно 6 см.

Ответ: основание должно быть равно 6 см.

Решите уравнения (23–27):

23. a) $cos5x \cdot tgx = 0;$

б) $sin3x \cdot tgx = 0;$

в) $2sin(\frac{\pi}{2}-x) - \sqrt{3} = 0;$

г) $3ctg(\frac{\pi}{2}+x) - \sqrt{3} = 0.$

a) Решим уравнение $\cos(5x) \cdot \tan(x) = 0$.

Данное уравнение равносильно системе, в которой произведение равно нулю, а также учтена область допустимых значений (ОДЗ) для тангенса:

$\begin{cases} \cos(5x) = 0 \text{ или } \tan(x) = 0 \\ \cos(x) \neq 0 \end{cases}$

ОДЗ: $\cos(x) \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая из совокупности уравнений:

1) $\tan(x) = 0$. Решением этого уравнения является серия корней $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Проверим, удовлетворяют ли эти корни ОДЗ. $\cos(\pi n) = (-1)^n$. Поскольку $(-1)^n$ никогда не равно нулю, все корни этой серии подходят.

2) $\cos(5x) = 0$. Решением этого уравнения является серия корней $5x = \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Отсюда $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$. Теперь необходимо проверить эти корни на соответствие ОДЗ. Исключим те значения $m$, для которых $x$ совпадает с запрещенными значениями $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

$\frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5} = \frac{\pi}{2} + \pi k$

Разделим обе части на $\pi$: $\frac{1}{10} + \frac{m}{5} = \frac{1}{2} + k$.

Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от дробей: $1 + 2m = 5 + 10k$.

$2m = 4 + 10k$.

$m = 2 + 5k$.

Это означает, что мы должны исключить из серии $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$ все корни, для которых $m$ имеет вид $2 + 5k$, где $k$ — любое целое число.

Объединяя все найденные и проверенные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}, m \in \mathbb{Z}, m \neq 2 + 5k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $\sin(3x) \cdot \tan(x) = 0$.

Уравнение эквивалентно системе:

$\begin{cases} \sin(3x) = 0 \text{ или } \tan(x) = 0 \\ \cos(x) \neq 0 \end{cases}$

ОДЗ: $\cos(x) \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим совокупность уравнений:

1) $\tan(x) = 0 \implies x = \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin(3x) = 0 \implies 3x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Обратим внимание, что первая серия корней ($x = \pi m$) является подмножеством второй серии ($x = \frac{\pi n}{3}$ при $n=3m$). Следовательно, общим решением совокупности является $x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Теперь проверим эти решения на соответствие ОДЗ. Нам нужно выяснить, существуют ли такие целые $n$ и $k$, при которых корень из нашей серии совпадает с запрещенным значением.

$\frac{\pi n}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k$

$\frac{n}{3} = \frac{1}{2} + k$

$2n = 3 + 6k$

В левой части этого равенства стоит четное число ($2n$), а в правой — нечетное ($3 + 6k = 3(1+2k)$). Равенство между четным и нечетным числом невозможно. Это означает, что ни один из найденных корней не противоречит ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $2\sin(\frac{\pi}{2} - x) - \sqrt{3} = 0$.

Для упрощения уравнения воспользуемся формулой приведения: $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$.

Уравнение преобразуется к виду: $2\cos(x) - \sqrt{3} = 0$.

Выразим отсюда $\cos(x)$:

$2\cos(x) = \sqrt{3}$

$\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для него находится по формуле $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$.

$x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $3\cot(\frac{\pi}{2} + x) - \sqrt{3} = 0$.

Применим формулу приведения для котангенса: $\cot(\frac{\pi}{2} + x) = -\tan(x)$. ОДЗ исходного уравнения: $\sin(\frac{\pi}{2}+x) \neq 0$, что эквивалентно $\cos(x) \neq 0$.

Подставив в уравнение, получим:

$3(-\tan(x)) - \sqrt{3} = 0$

$-3\tan(x) = \sqrt{3}$

Выразим $\tan(x)$:

$\tan(x) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. ОДЗ для $\tan(x)$ ($\cos(x) \neq 0$) совпадает с ОДЗ исходного уравнения. Решение находится по формуле $x = \arctan(a) + \pi n$.

$x = \arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:

$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Данные решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

24. a) $cos5x = cos3x;$

б) $sin5x = sin3x;$

b) $sin6x + sin2x = sin4x;$

г) $cos2x - sin4x = 0.$

а)

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ \cos{5x} - \cos{3x} = 0 $

Воспользуемся формулой разности косинусов $ \cos{\alpha} - \cos{\beta} = -2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} $:

$ -2\sin{\frac{5x+3x}{2}}\sin{\frac{5x-3x}{2}} = 0 $

$ -2\sin{4x}\sin{x} = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $ \sin{4x} = 0 $

$ 4x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi k}{4} $, где $ k \in \mathbb{Z} $

2) $ \sin{x} = 0 $

$ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Заметим, что вторая серия решений $ x = \pi n $ является подмножеством первой серии $ x = \frac{\pi k}{4} $ (это достигается при $ k=4n $). Следовательно, все решения можно описать одной, более общей, формулой.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{4} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б)

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ \sin{5x} - \sin{3x} = 0 $

Воспользуемся формулой разности синусов $ \sin{\alpha} - \sin{\beta} = 2\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}} $:

$ 2\sin{\frac{5x-3x}{2}}\cos{\frac{5x+3x}{2}} = 0 $

$ 2\sin{x}\cos{4x} = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $ \sin{x} = 0 $

$ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

2) $ \cos{4x} = 0 $

$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Эти две серии решений являются независимыми.

Ответ: $ x = \pi k $; $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

в)

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ \sin{6x} + \sin{2x} - \sin{4x} = 0 $

Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы синусов $ \sin{\alpha} + \sin{\beta} = 2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}} $:

$ \left(\sin{6x} + \sin{2x}\right) - \sin{4x} = 0 $

$ 2\sin{\frac{6x+2x}{2}}\cos{\frac{6x-2x}{2}} - \sin{4x} = 0 $

$ 2\sin{4x}\cos{2x} - \sin{4x} = 0 $

Вынесем общий множитель $ \sin{4x} $ за скобки:

$ \sin{4x}(2\cos{2x} - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $ \sin{4x} = 0 $

$ 4x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi k}{4} $, где $ k \in \mathbb{Z} $

2) $ 2\cos{2x} - 1 = 0 $

$ \cos{2x} = \frac{1}{2} $

$ 2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{4} $; $ x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

г)

Исходное уравнение: $ \cos{2x} - \sin{4x} = 0 $.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $ \sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} $. В данном случае $ \sin{4x} = 2\sin{2x}\cos{2x} $.

Подставим это выражение в уравнение:

$ \cos{2x} - 2\sin{2x}\cos{2x} = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos{2x} $ за скобки:

$ \cos{2x}(1 - 2\sin{2x}) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $ \cos{2x} = 0 $

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $

2) $ 1 - 2\sin{2x} = 0 $

$ \sin{2x} = \frac{1}{2} $

Общее решение для этого уравнения имеет вид: $ 2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Отсюда $ x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $; $ x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

25. a) $tg^2x - 3tgx + 2 = 0;$

В) $3cos^2x - 5cosx + 2 = 0;$

б) $2sin^2x - 3sinx + 1 = 0;$

г) $4ctg^2x - 6ctgx + 2 = 0.$

а)

Дано уравнение $tg^2x - 3tgx + 2 = 0$.

Данное уравнение является квадратным относительно $tgx$. Введем замену переменной. Пусть $y = tgx$.

Тогда уравнение примет вид: $y^2 - 3y + 2 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Отсюда следует, что корни уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = 2$.

Либо можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 1}{2}$.

$y_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2$; $y_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$.

Теперь выполним обратную замену.

1. Если $tgx = 1$, то $x = arctg(1) + \pi n$, где $n \in Z$. Так как $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем серию решений $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.

2. Если $tgx = 2$, то $x = arctg(2) + \pi k$, где $k \in Z$.

Объединяя обе серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$; $x = arctg(2) + \pi k, k \in Z$.

б)

Дано уравнение $2sin^2x - 3sinx + 1 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $sinx$. Сделаем замену переменной: пусть $y = sinx$. Учитывая свойство синуса, должно выполняться условие $|y| \le 1$.

Уравнение принимает вид: $2y^2 - 3y + 1 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}$.

$y_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1$; $y_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Оба найденных значения удовлетворяют условию $|y| \le 1$.

Выполним обратную замену.

1. Если $sinx = 1$, это частный случай. Решением является $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.

2. Если $sinx = \frac{1}{2}$, то по общей формуле $x = (-1)^k arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in Z$. Так как $arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.

в)

Дано уравнение $3cos^2x - 5cosx + 2 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $cosx$. Сделаем замену переменной: пусть $y = cosx$, при этом $|y| \le 1$.

Уравнение принимает вид: $3y^2 - 5y + 2 = 0$.

Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$.

$y_1 = \frac{5 + 1}{6} = 1$; $y_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Оба корня удовлетворяют условию $|y| \le 1$.

Выполним обратную замену.

1. Если $cosx = 1$, это частный случай. Решением является $x = 2\pi n, n \in Z$.

2. Если $cosx = \frac{2}{3}$, то по общей формуле $x = \pm arccos(\frac{2}{3}) + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in Z$; $x = \pm arccos(\frac{2}{3}) + 2\pi k, k \in Z$.

г)

Дано уравнение $4ctg^2x - 6ctgx + 2 = 0$.

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2: $2ctg^2x - 3ctgx + 1 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $ctgx$. Введем замену: пусть $y = ctgx$.

Уравнение принимает вид: $2y^2 - 3y + 1 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения были найдены в пункте б): $y_1 = 1$ и $y_2 = \frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену.

1. Если $ctgx = 1$, то $x = arcctg(1) + \pi n$, где $n \in Z$. Так как $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.

2. Если $ctgx = \frac{1}{2}$, то $x = arcctg(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in Z$.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$; $x = arcctg(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in Z$.

26. a) $tgx - 3ctgx = 0;$

б) $2 - sinx = 2cos^2x;$

в) $sin2x = 2\sqrt{3} sin^2x;$

г) $cos^2x + 3sin^2x - 3 = 0.$

а) Исходное уравнение: $tgx - 3ctgx = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \ne \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$, так как и тангенс, и котангенс должны быть определены и не равны нулю.

Выразим $ctgx$ через $tgx$ с помощью тождества $ctgx = \frac{1}{tgx}$:

$tgx - \frac{3}{tgx} = 0$

Умножим обе части уравнения на $tgx$, поскольку из ОДЗ следует, что $tgx \ne 0$:

$tg^2x - 3 = 0$

$tg^2x = 3$

Из этого следует, что $tgx = \sqrt{3}$ или $tgx = -\sqrt{3}$.

1) Если $tgx = \sqrt{3}$, то $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$.

2) Если $tgx = -\sqrt{3}$, то $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z$.

Эти две серии решений можно объединить в одну формулу. Полученные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$.

в) Исходное уравнение: $sin2x = 2\sqrt{3}sin^2x$.

Применим формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinxcosx$:

$2sinxcosx = 2\sqrt{3}sin^2x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$2sinxcosx - 2\sqrt{3}sin^2x = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $2sinx$:

$2sinx(cosx - \sqrt{3}sinx) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $sinx = 0$. Отсюда $x = \pi n, n \in Z$.

2) $cosx - \sqrt{3}sinx = 0$. Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Так как $cosx$ и $sinx$ не могут быть равны нулю одновременно, мы можем разделить обе части на $cosx \ne 0$:

$1 - \sqrt{3}tgx = 0$

$tgx = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Отсюда $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = \pi n, n \in Z$; $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.

б) Исходное уравнение: $2 - sinx = 2cos^2x$.

Используем основное тригонометрическое тождество $cos^2x = 1 - sin^2x$, чтобы привести уравнение к переменной $sinx$:

$2 - sinx = 2(1 - sin^2x)$

$2 - sinx = 2 - 2sin^2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$2sin^2x - sinx = 0$

Вынесем $sinx$ за скобки:

$sinx(2sinx - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $sinx = 0$. Отсюда $x = \pi n, n \in Z$.

2) $2sinx - 1 = 0$, то есть $sinx = \frac{1}{2}$. Отсюда $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = \pi n, n \in Z$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.

г) Исходное уравнение: $cos^2x + 3sin^2x - 3 = 0$.

Приведем уравнение к одной тригонометрической функции, используя тождество $cos^2x = 1 - sin^2x$:

$(1 - sin^2x) + 3sin^2x - 3 = 0$

Упростим выражение:

$2sin^2x - 2 = 0$

$2sin^2x = 2$

$sin^2x = 1$

Это уравнение распадается на два:

1) $sinx = 1$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$.

2) $sinx = -1$, откуда $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in Z$.

Эти две серии корней описывают точки, в которых $cosx=0$, и их можно объединить в одну общую формулу.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.

27. a) $3\sin^2x + \cos^2x = 2\sin2x$;

б) $\sqrt{3} \sin2x - 6\cos^2x = -3$;

в) $\sin^2x + \frac{3}{2}\cos^2x = \frac{5}{2}\sin x \cdot \cos x$;

г) $6\sin^2x + 3\sin x \cdot \cos x - 5\cos^2x = 2$.

а) Исходное уравнение: $3\sin^2x + \cos^2x = 2\sin2x$.

Используем формулу двойного угла $\sin2x = 2\sin x\cos x$.

$3\sin^2x + \cos^2x = 2(2\sin x\cos x)$

$3\sin^2x + \cos^2x = 4\sin x\cos x$

Перенесем все члены в левую часть:

$3\sin^2x - 4\sin x\cos x + \cos^2x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2x = 1$. Подставив в уравнение, получим $3(1) - 0 + 0 = 3 \ne 0$. Значит, $\cos x \ne 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2x$ (это возможно, так как $\cos x \ne 0$):

$\frac{3\sin^2x}{\cos^2x} - \frac{4\sin x\cos x}{\cos^2x} + \frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

$3\tan^2x - 4\tan x + 1 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение:

$3t^2 - 4t + 1 = 0$

Решим его. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.

Корни: $t_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, $t_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Возвращаемся к замене:

1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = \frac{1}{3} \implies x = \arctan(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, x = \arctan(\frac{1}{3}) + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{3}\sin2x - 6\cos^2x = -3$.

Используем формулу понижения степени $\cos^2x = \frac{1+\cos2x}{2}$.

$\sqrt{3}\sin2x - 6\left(\frac{1+\cos2x}{2}\right) = -3$

$\sqrt{3}\sin2x - 3(1+\cos2x) = -3$

$\sqrt{3}\sin2x - 3 - 3\cos2x = -3$

$\sqrt{3}\sin2x - 3\cos2x = 0$

$\sqrt{3}\sin2x = 3\cos2x$

Предположим, $\cos2x \neq 0$. Тогда можно разделить обе части на $\cos2x$:

$\sqrt{3}\tan2x = 3$

$\tan2x = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

$2x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi k$

$2x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Если бы $\cos2x = 0$, то из уравнения $\sqrt{3}\sin2x - 3\cos2x = 0$ следовало бы, что $\sin2x = 0$. Но $\sin2x$ и $\cos2x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$. Следовательно, наше предположение было верным.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $\sin^2x + \frac{3}{2}\cos^2x = \frac{5}{2}\sin x\cos x$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$2\sin^2x + 3\cos^2x = 5\sin x\cos x$

Перенесем все члены в левую часть:

$2\sin^2x - 5\sin x\cos x + 3\cos^2x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2x = 1$. Подставив, получим $2(1) - 0 + 0 = 2 \ne 0$. Значит, $\cos x \ne 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2x$ (это возможно, так как $\cos x \ne 0$):

$2\frac{\sin^2x}{\cos^2x} - 5\frac{\sin x\cos x}{\cos^2x} + 3\frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

$2\tan^2x - 5\tan x + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение:

$2t^2 - 5t + 3 = 0$

Решим его. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

Корни: $t_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$, $t_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Возвращаемся к замене:

1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = \frac{3}{2} \implies x = \arctan(\frac{3}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, x = \arctan(\frac{3}{2}) + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $6\sin^2x + 3\sin x\cos x - 5\cos^2x = 2$.

Для приведения к однородному уравнению используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2x + \cos^2x$. Заменим 2 на $2(\sin^2x + \cos^2x)$.

$6\sin^2x + 3\sin x\cos x - 5\cos^2x = 2(\sin^2x + \cos^2x)$

$6\sin^2x + 3\sin x\cos x - 5\cos^2x = 2\sin^2x + 2\cos^2x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$(6\sin^2x - 2\sin^2x) + 3\sin x\cos x + (-5\cos^2x - 2\cos^2x) = 0$

$4\sin^2x + 3\sin x\cos x - 7\cos^2x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2x = 1$. Подставив, получим $4(1) + 0 - 0 = 4 \ne 0$. Значит, $\cos x \ne 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2x$ (это возможно, так как $\cos x \ne 0$):

$4\frac{\sin^2x}{\cos^2x} + 3\frac{\sin x\cos x}{\cos^2x} - 7\frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

$4\tan^2x + 3\tan x - 7 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение:

$4t^2 + 3t - 7 = 0$

Решим его. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 9 + 112 = 121 = 11^2$.

Корни: $t = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 \pm 11}{8}$.

$t_1 = \frac{-3 + 11}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

$t_2 = \frac{-3 - 11}{8} = -\frac{14}{8} = -\frac{7}{4}$.

Возвращаемся к замене:

1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = -\frac{7}{4} \implies x = \arctan(-\frac{7}{4}) + \pi n = -\arctan(\frac{7}{4}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, x = -\arctan(\frac{7}{4}) + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

Решите уравнение $f'(x) = 0$ (28—31):

28. a) $f(x) = x^2 + 2x;$

б) $f(x) = x - x^2;$

в) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2,5x^2 + 6x;$

г) $f(x) = 3x^3 - 15x^2 + 25x.$

а) Дана функция $f(x) = x^2 + 2x$. Для решения уравнения $f'(x) = 0$ сначала необходимо найти производную функции $f(x)$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования суммы, получаем:

$f'(x) = (x^2 + 2x)' = (x^2)' + (2x)' = 2x^{2-1} + 2x^{1-1} = 2x + 2$.

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$2x + 2 = 0$

$2x = -2$

$x = -1$.

Ответ: $x = -1$.

б) Дана функция $f(x) = x - x^2$.

Находим ее производную:

$f'(x) = (x - x^2)' = (x)' - (x^2)' = 1 - 2x$.

Приравниваем производную к нулю:

$1 - 2x = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$ или $x = 0.5$.

Ответ: $x = 0.5$.

в) Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2,5x^2 + 6x$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 2,5x^2 + 6x)' = (\frac{1}{3}x^3)' - (2,5x^2)' + (6x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2,5 \cdot 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$x^2 - 5x + 6 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}$.

$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 3$.

г) Дана функция $f(x) = 3x^3 - 15x^2 + 25x$.

Найдем ее производную:

$f'(x) = (3x^3 - 15x^2 + 25x)' = (3x^3)' - (15x^2)' + (25x)' = 3 \cdot 3x^2 - 15 \cdot 2x + 25 = 9x^2 - 30x + 25$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$9x^2 - 30x + 25 = 0$.

Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$9x^2 - 30x + 25 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 5 + 5^2 = (3x-5)^2$.

Уравнение принимает вид:

$(3x - 5)^2 = 0$

$3x - 5 = 0$

$3x = 5$

$x = \frac{5}{3}$.

Ответ: $x = \frac{5}{3}$.

29. а) $f(x) = \frac{1}{5} x^5 - 3x^3 + 20x;$

б) $f(x) = \frac{2}{5} x^5 - \frac{5}{3} x^3 + 3x;$

в) $f(x) = x^7 - 7x;$

г) $f(x) = 0.25x^8 + 2x.$

а) Чтобы найти производную функции $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - 3x^3 + 20x$, необходимо найти производную каждого слагаемого, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования суммы функций $(u+v)' = u' + v'$.

1. Производная первого слагаемого: $(\frac{1}{5}x^5)' = \frac{1}{5} \cdot (x^5)' = \frac{1}{5} \cdot 5x^{5-1} = x^4$.

2. Производная второго слагаемого: $(-3x^3)' = -3 \cdot (x^3)' = -3 \cdot 3x^{3-1} = -9x^2$.

3. Производная третьего слагаемого: $(20x)' = 20 \cdot (x)' = 20 \cdot 1 = 20$.

Складывая производные слагаемых, получаем производную исходной функции:

$f'(x) = x^4 - 9x^2 + 20$.

Ответ: $f'(x) = x^4 - 9x^2 + 20$.

б) Найдём производную функции $f(x) = \frac{2}{5}x^5 - \frac{5}{3}x^3 + 3x$. Аналогично предыдущему пункту, дифференцируем функцию по частям.

1. Производная первого слагаемого: $(\frac{2}{5}x^5)' = \frac{2}{5} \cdot (x^5)' = \frac{2}{5} \cdot 5x^{5-1} = 2x^4$.

2. Производная второго слагаемого: $(-\frac{5}{3}x^3)' = -\frac{5}{3} \cdot (x^3)' = -\frac{5}{3} \cdot 3x^{3-1} = -5x^2$.

3. Производная третьего слагаемого: $(3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot 1 = 3$.

Объединяем результаты:

$f'(x) = 2x^4 - 5x^2 + 3$.

Ответ: $f'(x) = 2x^4 - 5x^2 + 3$.

в) Найдём производную функции $f(x) = x^7 - 7x$.

1. Производная первого слагаемого: $(x^7)' = 7x^{7-1} = 7x^6$.

2. Производная второго слагаемого: $(-7x)' = -7 \cdot (x)' = -7 \cdot 1 = -7$.

Складываем полученные производные:

$f'(x) = 7x^6 - 7$.

Ответ: $f'(x) = 7x^6 - 7$.

г) Найдём производную функции $f(x) = 0,25x^8 + 2x$.

1. Производная первого слагаемого: $(0,25x^8)' = 0,25 \cdot (x^8)' = 0,25 \cdot 8x^{8-1} = 2x^7$.

2. Производная второго слагаемого: $(2x)' = 2 \cdot (x)' = 2 \cdot 1 = 2$.

Таким образом, производная функции равна:

$f'(x) = 2x^7 + 2$.

Ответ: $f'(x) = 2x^7 + 2$.

30. a) $f(x) = \sin x + x;$

б) $f(x) = x - \cos x.$

а) Для нахождения промежутков монотонности (возрастания и убывания) функции $f(x) = \sin x + x$, необходимо исследовать знак ее производной.

1. Найдем производную функции. Область определения функции - все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

$f'(x) = (\sin x + x)' = (\sin x)' + (x)' = \cos x + 1$.

2. Определим знак производной. Функция возрастает, если $f'(x) > 0$, и убывает, если $f'(x) < 0$.

Мы знаем, что значения функции косинус лежат в диапазоне от -1 до 1, то есть:

$-1 \le \cos x \le 1$.

Прибавив 1 ко всем частям неравенства, получим оценку для производной:

$-1 + 1 \le \cos x + 1 \le 1 + 1$

$0 \le \cos x + 1 \le 2$.

Таким образом, производная $f'(x) \ge 0$ для всех действительных значений $x$. Это означает, что функция является неубывающей на всей своей области определения.

3. Найдем точки, в которых производная равна нулю.

$f'(x) = 0 \implies \cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1$.

Это равенство выполняется при $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку производная неотрицательна на всей числовой прямой и обращается в ноль лишь в отдельных (изолированных) точках, функция $f(x)$ строго возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

б) Для нахождения промежутков монотонности функции $f(x) = x - \cos x$, исследуем знак ее производной.

1. Найдем производную функции. Область определения функции - все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

$f'(x) = (x - \cos x)' = (x)' - (\cos x)' = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x$.

2. Определим знак производной.

Мы знаем, что значения функции синус лежат в диапазоне от -1 до 1, то есть:

$-1 \le \sin x \le 1$.

Прибавив 1 ко всем частям неравенства, получим оценку для производной:

$1 + (-1) \le 1 + \sin x \le 1 + 1$

$0 \le 1 + \sin x \le 2$.

Таким образом, производная $f'(x) \ge 0$ для всех действительных значений $x$. Это означает, что функция является неубывающей на всей своей области определения.

3. Найдем точки, в которых производная равна нулю.

$f'(x) = 0 \implies 1 + \sin x = 0 \implies \sin x = -1$.

Это равенство выполняется при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку производная неотрицательна на всей числовой прямой и обращается в ноль лишь в отдельных (изолированных) точках, функция $f(x)$ строго возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

31. a) f(x) = \operatorname{tg}x - x$;

б) $f(x) = x + \operatorname{ctg}x$.

а) Для исследования функции $f(x) = \tg x - x$ на монотонность и экстремумы, найдем ее область определения и производную.

Область определения $D(f)$ определяется условием существования тангенса, то есть $\cos x \neq 0$, откуда $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (\tg x - x)' = (\tg x)' - (x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$. Используя тригонометрическое тождество $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tg^2 x$, преобразуем производную: $f'(x) = (1 + \tg^2 x) - 1 = \tg^2 x$.

Проанализируем знак производной. Поскольку $f'(x) = \tg^2 x$ является квадратом вещественного числа, ее значение всегда неотрицательно: $f'(x) \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что функция является возрастающей на каждом интервале своей области определения. Интервалы имеют вид $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$ для любого целого $k$.

Точки экстремума могут существовать там, где производная равна нулю и меняет свой знак. Производная $f'(x) = \tg^2 x$ равна нулю при $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Однако, поскольку $\tg^2 x$ не меняет знак (остается неотрицательной) при переходе через эти точки, они не являются точками экстремума. Таким образом, у функции нет точек локального максимума или минимума.

Ответ: функция возрастает на каждом из интервалов $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$; точек экстремума нет.

б) Для исследования функции $f(x) = x + \ctg x$ на монотонность и экстремумы, найдем ее область определения и производную.

Область определения $D(f)$ определяется условием существования котангенса, то есть $\sin x \neq 0$, откуда $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x + \ctg x)' = (x)' + (\ctg x)' = 1 - \frac{1}{\sin^2 x}$. Приводя выражение к общему знаменателю, получаем: $f'(x) = \frac{\sin^2 x - 1}{\sin^2 x} = \frac{-\cos^2 x}{\sin^2 x} = -\ctg^2 x$.

Проанализируем знак производной. Поскольку $\ctg^2 x \ge 0$, то $f'(x) = -\ctg^2 x$ всегда неположительна: $f'(x) \le 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что функция является убывающей на каждом интервале своей области определения. Интервалы имеют вид $(\pi k, \pi(k+1))$ для любого целого $k$.

Производная $f'(x) = -\ctg^2 x$ равна нулю при $\ctg x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Так как $\ctg^2 x$ не меняет знак (остается неотрицательной), то и $-\ctg^2 x$ не меняет знак (остается неположительной) при переходе через эти точки. Следовательно, они не являются точками экстремума. Таким образом, у функции нет точек локального максимума или минимума.

Ответ: функция убывает на каждом из интервалов $(\pi k, \pi(k+1))$, $k \in \mathbb{Z}$; точек экстремума нет.

Решите неравенства (32–36):

32. a) $sin2x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \le \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $tg\left(x + \frac{\pi}{4}\right) > 1$;

г) $ctg\left(\frac{\pi}{4} + x\right) < 1$.

а)

Решим неравенство $ \sin(2x) \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 2x $. Неравенство примет вид $ \sin(t) \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Найдем на единичной окружности точки, для которых ордината (синус) больше или равна $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Сначала решим уравнение $ \sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Корнями этого уравнения являются $ t = \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} $ и $ t = \pi - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3} $.

Решением неравенства $ \sin(t) \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} $ будет промежуток, который начинается от угла $ -\frac{\pi}{3} $ и идет против часовой стрелки до угла $ \frac{4\pi}{3} $.

Таким образом, с учетом периодичности синуса, решение для $t$ имеет вид: $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $ t = 2x $:

$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le 2x \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k $

Разделим все части двойного неравенства на 2:

$ -\frac{\pi}{6} + \pi k \le x \le \frac{2\pi}{3} + \pi k $

Ответ: $ x \in [-\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k], k \in \mathbb{Z} $.

б)

Решим неравенство $ \cos(x - \frac{\pi}{3}) \le \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x - \frac{\pi}{3}$. Неравенство примет вид $ \cos(t) \le \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Найдем на единичной окружности точки, для которых абсцисса (косинус) меньше или равна $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Сначала решим уравнение $ \cos(t) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Корнями этого уравнения являются $ t = \frac{\pi}{4} $ и $ t = -\frac{\pi}{4} $.

Решением неравенства $ \cos(t) \le \frac{\sqrt{2}}{2} $ будет дуга окружности, которая начинается от угла $ \frac{\pi}{4} $ и идет против часовой стрелки до угла $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} $.

Таким образом, с учетом периодичности косинуса, решение для $t$ имеет вид: $ \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $ t = x - \frac{\pi}{3} $:

$ \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{3} \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi k $

Прибавим $ \frac{\pi}{3} $ ко всем частям двойного неравенства:

$ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k $

$ \frac{3\pi + 4\pi}{12} + 2\pi k \le x \le \frac{21\pi + 4\pi}{12} + 2\pi k $

$ \frac{7\pi}{12} + 2\pi k \le x \le \frac{25\pi}{12} + 2\pi k $

Ответ: $ x \in [\frac{7\pi}{12} + 2\pi k, \frac{25\pi}{12} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} $.

в)

Решим неравенство $ \tg(x + \frac{\pi}{4}) > 1 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x + \frac{\pi}{4}$. Неравенство примет вид $ \tg(t) > 1 $.

Функция тангенса имеет период $ \pi $. Решим неравенство на одном периоде, например, на интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.

Найдем значение $t$, для которого $ \tg(t) = 1 $. В указанном интервале это $ t = \frac{\pi}{4} $.

Функция $ y = \tg(t) $ возрастает на интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $. Следовательно, неравенство $ \tg(t) > 1 $ выполняется при $ \frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{2} $.

Учитывая периодичность тангенса, общее решение для $t$ будет:

$ \frac{\pi}{4} + \pi k < t < \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $ t = x + \frac{\pi}{4} $:

$ \frac{\pi}{4} + \pi k < x + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + \pi k $

Вычтем $ \frac{\pi}{4} $ из всех частей двойного неравенства:

$ \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi k $

$ \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k $

Ответ: $ x \in (\pi k, \frac{\pi}{4} + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

г)

Решим неравенство $ \ctg(\frac{\pi}{4} + x) < 1 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \frac{\pi}{4} + x$. Неравенство примет вид $ \ctg(t) < 1 $.

Функция котангенса имеет период $ \pi $. Решим неравенство на одном периоде, например, на интервале $ (0, \pi) $.

Найдем значение $t$, для которого $ \ctg(t) = 1 $. В указанном интервале это $ t = \frac{\pi}{4} $.

Функция $ y = \ctg(t) $ убывает на интервале $ (0, \pi) $. Следовательно, неравенство $ \ctg(t) < 1 $ выполняется при $ \frac{\pi}{4} < t < \pi $.

Учитывая периодичность котангенса, общее решение для $t$ будет:

$ \frac{\pi}{4} + \pi k < t < \pi + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $ t = \frac{\pi}{4} + x $:

$ \frac{\pi}{4} + \pi k < \frac{\pi}{4} + x < \pi + \pi k $

Вычтем $ \frac{\pi}{4} $ из всех частей двойного неравенства:

$ \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi k < x < \pi - \frac{\pi}{4} + \pi k $

$ \pi k < x < \frac{3\pi}{4} + \pi k $

Ответ: $ x \in (\pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

33. a) $ \sin x \cos 2x + \cos x \sin 2x > \frac{1}{2}; $

б) $ \cos 6x \cdot \cos x - \sin 6x \cdot \sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}. $

а) Левая часть неравенства представляет собой формулу синуса суммы двух углов: $ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha + \beta) $. Применим эту формулу к нашему неравенству, где $ \alpha = x $ и $ \beta = 2x $:$ \sin(x)\cos(2x) + \cos(x)\sin(2x) = \sin(x + 2x) = \sin(3x) $.Таким образом, исходное неравенство принимает вид:$ \sin(3x) > \frac{1}{2} $.Решим это тригонометрическое неравенство. Сначала найдем значения, при которых $ \sin(t) = \frac{1}{2} $. Это $ t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n $ и $ t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.Неравенство $ \sin(t) > \frac{1}{2} $ выполняется для углов $ t $, лежащих в интервале $ (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}) $ на единичной окружности.Следовательно, общее решение для $ t = 3x $ имеет вид:$ \frac{\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.Теперь разделим все части неравенства на 3, чтобы найти $ x $:$ \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}), n \in \mathbb{Z} $.

б) Левая часть неравенства является формулой косинуса суммы двух углов: $ \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha + \beta) $. В данном случае $ \alpha = 6x $ и $ \beta = x $. Применим формулу:$ \cos(6x)\cos(x) - \sin(6x)\sin(x) = \cos(6x + x) = \cos(7x) $.Исходное неравенство сводится к следующему:$ \cos(7x) > \frac{\sqrt{3}}{2} $.Решим это неравенство. Найдем значения, для которых $ \cos(t) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это $ t = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.Неравенство $ \cos(t) > \frac{\sqrt{3}}{2} $ справедливо для углов $ t $, которые находятся в интервале $ (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}) $ на единичной окружности.Общее решение для $ t = 7x $ записывается в виде двойного неравенства:$ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 7x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.Чтобы найти $ x $, разделим все части неравенства на 7:$ -\frac{\pi}{42} + \frac{2\pi n}{7} < x < \frac{\pi}{42} + \frac{2\pi n}{7} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{42} + \frac{2\pi n}{7}; \frac{\pi}{42} + \frac{2\pi n}{7}), n \in \mathbb{Z} $.