Номер 29, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

29. а) $f(x) = \frac{1}{5} x^5 - 3x^3 + 20x;$

б) $f(x) = \frac{2}{5} x^5 - \frac{5}{3} x^3 + 3x;$

в) $f(x) = x^7 - 7x;$

г) $f(x) = 0.25x^8 + 2x.$

а) Чтобы найти производную функции $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - 3x^3 + 20x$, необходимо найти производную каждого слагаемого, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования суммы функций $(u+v)' = u' + v'$.

1. Производная первого слагаемого: $(\frac{1}{5}x^5)' = \frac{1}{5} \cdot (x^5)' = \frac{1}{5} \cdot 5x^{5-1} = x^4$.

2. Производная второго слагаемого: $(-3x^3)' = -3 \cdot (x^3)' = -3 \cdot 3x^{3-1} = -9x^2$.

3. Производная третьего слагаемого: $(20x)' = 20 \cdot (x)' = 20 \cdot 1 = 20$.

Складывая производные слагаемых, получаем производную исходной функции:

$f'(x) = x^4 - 9x^2 + 20$.

Ответ: $f'(x) = x^4 - 9x^2 + 20$.

б) Найдём производную функции $f(x) = \frac{2}{5}x^5 - \frac{5}{3}x^3 + 3x$. Аналогично предыдущему пункту, дифференцируем функцию по частям.

1. Производная первого слагаемого: $(\frac{2}{5}x^5)' = \frac{2}{5} \cdot (x^5)' = \frac{2}{5} \cdot 5x^{5-1} = 2x^4$.

2. Производная второго слагаемого: $(-\frac{5}{3}x^3)' = -\frac{5}{3} \cdot (x^3)' = -\frac{5}{3} \cdot 3x^{3-1} = -5x^2$.

3. Производная третьего слагаемого: $(3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot 1 = 3$.

Объединяем результаты:

$f'(x) = 2x^4 - 5x^2 + 3$.

Ответ: $f'(x) = 2x^4 - 5x^2 + 3$.

в) Найдём производную функции $f(x) = x^7 - 7x$.

1. Производная первого слагаемого: $(x^7)' = 7x^{7-1} = 7x^6$.

2. Производная второго слагаемого: $(-7x)' = -7 \cdot (x)' = -7 \cdot 1 = -7$.

Складываем полученные производные:

$f'(x) = 7x^6 - 7$.

Ответ: $f'(x) = 7x^6 - 7$.

г) Найдём производную функции $f(x) = 0,25x^8 + 2x$.

1. Производная первого слагаемого: $(0,25x^8)' = 0,25 \cdot (x^8)' = 0,25 \cdot 8x^{8-1} = 2x^7$.

2. Производная второго слагаемого: $(2x)' = 2 \cdot (x)' = 2 \cdot 1 = 2$.

Таким образом, производная функции равна:

$f'(x) = 2x^7 + 2$.

Ответ: $f'(x) = 2x^7 + 2$.