Номер 36, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

36. a)

$ \frac{1}{\text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)} \ge \frac{\sqrt{3}}{3} $;

б) $ \frac{1}{\text{tg}x - \frac{\pi}{3}} \le -1 $.

a) $\frac{1}{\ctg(x - \frac{\pi}{4})} > \frac{\sqrt{3}}{3}$

Преобразуем неравенство, используя тождество $\tg\alpha = \frac{1}{\ctg\alpha}$. Это преобразование равносильно при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $\ctg(x - \frac{\pi}{4}) \ne 0$. Также сам котангенс должен быть определен, то есть $\sin(x - \frac{\pi}{4}) \ne 0$.

Исходное неравенство эквивалентно следующему:

$\tg\left(x - \frac{\pi}{4}\right) > \frac{\sqrt{3}}{3}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x - \frac{\pi}{4}$. Неравенство примет вид:

$\tg t > \frac{\sqrt{3}}{3}$

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Аргумент тангенса $t$ должен удовлетворять условию, при котором значение тангенса больше $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Найдём угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$: $\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Функция тангенса возрастает на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ и имеет вертикальную асимптоту в точке $t = \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, решение для $t$ на одном периоде будет $\frac{\pi}{6} < t < \frac{\pi}{2}$.

Учитывая периодичность тангенса (период равен $\pi$), общее решение для $t$ имеет вид:

$\frac{\pi}{6} + \pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернёмся к исходной переменной $x$, подставив $t = x - \frac{\pi}{4}$:

$\frac{\pi}{6} + \pi n < x - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + \pi n$

Чтобы найти $x$, прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям двойного неравенства:

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{2\pi + 3\pi}{12} + \pi n < x < \frac{2\pi + \pi}{4} + \pi n$

$\frac{5\pi}{12} + \pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(\frac{5\pi}{12} + \pi n; \frac{3\pi}{4} + \pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\frac{1}{\tg(x - \frac{\pi}{3})} \le -1$

Для того чтобы дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным, то есть $\tg(x - \frac{\pi}{3}) < 0$. Преобразуем неравенство, используя тождество $\ctg\alpha = \frac{1}{\tg\alpha}$.

$\ctg\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \le -1$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x - \frac{\pi}{3}$. Неравенство примет вид:

$\ctg t \le -1$

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Найдём значения $t$, для которых котангенс не превышает $-1$.

Найдём угол, котангенс которого равен $-1$: $\arccot(-1) = \frac{3\pi}{4}$.

Функция котангенса является убывающей на интервале $(0, \pi)$ и имеет вертикальную асимптоту в точке $t = \pi$.

Таким образом, решение для $t$ на одном периоде $(0, \pi)$ будет интервал $[\frac{3\pi}{4}, \pi)$.

Учитывая периодичность котангенса (период равен $\pi$), общее решение для $t$ имеет вид:

$\frac{3\pi}{4} + \pi n \le t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернёмся к исходной переменной $x$, подставив $t = x - \frac{\pi}{3}$:

$\frac{3\pi}{4} + \pi n \le x - \frac{\pi}{3} < \pi + \pi n$

Чтобы найти $x$, прибавим $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям двойного неравенства:

$\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + \pi n \le x < \pi + \frac{\pi}{3} + \pi n$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{9\pi + 4\pi}{12} + \pi n \le x < \frac{3\pi + \pi}{3} + \pi n$

$\frac{13\pi}{12} + \pi n \le x < \frac{4\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left[\frac{13\pi}{12} + \pi n; \frac{4\pi}{3} + \pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.