Номер 43, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

43. Найдите область определения функции:

а) $y=\sqrt{4-x}$;

б) $y=\sin x+\sqrt{x}$;

в) $y=\frac{x+1}{x^2-4}$;

г) $y=\frac{x+2}{x^2-5x+6}$.

а) Область определения функции $y = \sqrt{4-x}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).

Составим и решим соответствующее неравенство:

$4 - x \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть неравенства, поменяв знак:

$4 \ge x$

Это неравенство можно записать как:

$x \le 4$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, которые меньше или равны 4. В виде промежутка это записывается как $(-\infty, 4]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 4]$.

б) Функция $y = \sin x + \sqrt{x}$ является суммой двух функций: $f(x) = \sin x$ и $g(x) = \sqrt{x}$. Область определения такой комбинированной функции является пересечением (общей частью) областей определения каждой из функций-слагаемых.

1. Область определения функции $f(x) = \sin x$ — это множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

2. Область определения функции $g(x) = \sqrt{x}$ ограничена условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. В виде промежутка это $x \in [0, +\infty)$.

Найдем пересечение этих двух множеств: $(-\infty, +\infty) \cap [0, +\infty)$. Общей частью является промежуток $[0, +\infty)$.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

в) Данная функция $y = \frac{x+1}{x^2-4}$ является дробно-рациональной. Ее область определения — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в ноль, так как на ноль делить нельзя.

Найдем значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль, решив уравнение:

$x^2 - 4 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем 4 в правую часть:

$x^2 = 4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{4}$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Следовательно, эти два значения $x$ должны быть исключены из области определения функции.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

г) Функция $y = \frac{x+2}{x^2-5x+6}$ также является дробно-рациональной. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю, чтобы исключить их из области определения.

Приравняем знаменатель к нулю:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2}$

$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, знаменатель обращается в ноль при $x=2$ и $x=3$. Эти значения необходимо исключить из области определения.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, +\infty)$.