Номер 46, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

46. Исследуйте функцию на четность и нечетность:

а) $f(x) = x^5 - x^{21};$

б) $f(x) = \sin x - \sin 3x;$

в) $f(x) = x^2 + \cos^3 x;$

г) $f(x) = \sin^4 x - x;$

д) $f(x) = \frac{x}{\cos x} + \operatorname{tg} x;$

е) $f(x) = \operatorname{tg}^2 x + \frac{x^3}{\sin x}.$

а) $f(x) = x^5 - x^{21}$

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^5 - (-x)^{21} = -x^5 - (-x^{21}) = -x^5 + x^{21} = -(x^5 - x^{21})$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = -f(x)$.

Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

б) $f(x) = \sin x - \sin 3x$

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sin(-x) - \sin(3(-x)) = \sin(-x) - \sin(-3x)$.

Так как синус — нечетная функция ($\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$), получаем:

$f(-x) = -\sin x - (-\sin 3x) = -\sin x + \sin 3x = -(\sin x - \sin 3x)$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = -f(x)$.

Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

в) $f(x) = x^2 + \cos^3 x$

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 + \cos^3(-x)$.

Так как степенная функция с четным показателем является четной ($(-x)^2 = x^2$) и косинус — четная функция ($\cos(-\alpha) = \cos \alpha$), получаем:

$f(-x) = x^2 + (\cos(-x))^3 = x^2 + (\cos x)^3 = x^2 + \cos^3 x$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = f(x)$.

Следовательно, функция является четной.

Ответ: четная.

г) $f(x) = \sin^4 x - x$

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sin^4(-x) - (-x) = (\sin(-x))^4 + x$.

Так как синус — нечетная функция, а возведение в четную степень дает положительный результат, получаем:

$f(-x) = (-\sin x)^4 + x = \sin^4 x + x$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = \sin^4 x + x \neq f(x) = \sin^4 x - x$.

$-f(x) = -(\sin^4 x - x) = -\sin^4 x + x$.

$f(-x) = \sin^4 x + x \neq -f(x)$.

Так как не выполняется ни условие четности ($f(-x) = f(x)$), ни условие нечетности ($f(-x) = -f(x)$), функция является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

д) $f(x) = \frac{x}{\cos x} + \text{tg}\, x$

1. Область определения функции задается условиями $\cos x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{-x}{\cos(-x)} + \text{tg}(-x)$.

Используя свойства четности косинуса ($\cos(-x) = \cos x$) и нечетности тангенса ($\text{tg}(-x) = -\text{tg}\, x$), получаем:

$f(-x) = \frac{-x}{\cos x} - \text{tg}\, x = -(\frac{x}{\cos x} + \text{tg}\, x)$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = -f(x)$.

Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

е) $f(x) = \text{tg}^2 x + \frac{x^3}{\sin x}$

1. Область определения функции задается условиями $\cos x \neq 0$ (для тангенса) и $\sin x \neq 0$ (для знаменателя дроби). Это эквивалентно условию $x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \text{tg}^2(-x) + \frac{(-x)^3}{\sin(-x)} = (\text{tg}(-x))^2 + \frac{-x^3}{-\sin x}$.

Используя свойства нечетности тангенса и синуса, получаем:

$f(-x) = (-\text{tg}\, x)^2 + \frac{-x^3}{-\sin x} = \text{tg}^2 x + \frac{x^3}{\sin x}$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = f(x)$.

Следовательно, функция является четной.

Ответ: четная.