Номер 52, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

52. Найдите точки разрыва функции:

a) $f(x) = \frac{1}{x+1}$;

б) $f(x) = \frac{x-1}{x^2-4}$;

в) $f(x) = \frac{x+1}{x^2-9}$;

г) $f(x) = \frac{x-3}{x(x+1)(x^2-25)}$;

д) $f(x) = \frac{x-1}{\cos x}$;

е) $f(x) = \frac{3}{\sin x}$.

а)

Функция $f(x) = \frac{1}{x+1}$ является дробно-рациональной. Точки разрыва такой функции находятся там, где ее знаменатель обращается в ноль, так как в этих точках функция не определена.

Приравняем знаменатель к нулю:

$x + 1 = 0$

Решая это уравнение, находим:

$x = -1$

Таким образом, функция имеет одну точку разрыва.

Ответ: $x = -1$.

б)

Функция $f(x) = \frac{x-1}{x^2-4}$ не определена в точках, где знаменатель равен нулю.

Найдем эти точки, решив уравнение:

$x^2 - 4 = 0$

Это разность квадратов: $(x-2)(x+2) = 0$.

Корнями уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, функция имеет две точки разрыва.

Ответ: $x = -2$, $x = 2$.

в)

Функция $f(x) = \frac{x+1}{x^2-9}$ не определена в точках, где знаменатель равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю:

$x^2 - 9 = 0$

Используем формулу разности квадратов: $(x-3)(x+3) = 0$.

Отсюда получаем две точки разрыва: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Ответ: $x = -3$, $x = 3$.

г)

Функция $f(x) = \frac{x-3}{x(x+1)(x^2-25)}$ имеет разрывы в точках, где ее знаменатель обращается в ноль.

Запишем уравнение для знаменателя:

$x(x+1)(x^2-25) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель:

1. $x = 0$

2. $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

3. $x^2 - 25 = 0 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$

Таким образом, функция имеет четыре точки разрыва.

Ответ: $x = -5$, $x = -1$, $x = 0$, $x = 5$.

д)

Функция $f(x) = \frac{x-1}{\cos x}$ имеет разрывы в тех точках, где знаменатель $\cos x$ равен нулю.

Решим уравнение:

$\cos x = 0$

Это стандартное тригонометрическое уравнение, решениями которого являются:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Это бесконечное множество точек разрыва.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е)

Функция $f(x) = \frac{3}{\sin x}$ не определена в точках, где знаменатель $\sin x$ равен нулю.

Решим уравнение:

$\sin x = 0$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Функция имеет бесконечное множество точек разрыва.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.