Номер 59, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

59. Исследуйте функцию $y = f(x)$ на экстремум:

а) $y = 8 - x^2$;

б) $y = x^3 + 6x$;

в) $y = x^4 - 2x^2 + 1$;

г) $y = 4x - x^4$;

д) $y = x^3 + x^2 - 8x + 1;

е) $y = \frac{4}{3}x^3 + 24x - 3$;

ж) $y = \frac{3x}{x^2 + 1}$;

з) $y = 3x - \frac{27}{2 - x^2}$.

а) $y = 8 - x^2$

Для исследования функции на экстремум найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $y' = (8 - x^2)' = -2x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $y' = 0 \Rightarrow -2x = 0 \Rightarrow x = 0$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $x=0$ делит числовую ось.

При $x \in (-\infty; 0)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

При $x \in (0; +\infty)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.

Поскольку в точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», эта точка является точкой локального максимума.

Найдем значение функции в точке максимума: $y_{max} = y(0) = 8 - 0^2 = 8$.

Ответ: точка максимума $x=0$, $y_{max}=8$.

б) $y = x^3 + 6x$

Область определения функции — $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную: $y' = (x^3 + 6x)' = 3x^2 + 6$.

Найдем критические точки из условия $y' = 0$: $3x^2 + 6 = 0 \Rightarrow 3x^2 = -6 \Rightarrow x^2 = -2$.

Данное уравнение не имеет действительных корней. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, производная $y' = 3x^2 + 6$ всегда положительна ($y' \ge 6$).

Следовательно, функция монотонно возрастает на всей числовой оси и не имеет точек экстремума.

Ответ: экстремумов нет.

в) $y = x^4 - 2x^2 + 1$

Область определения — $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную: $y' = (x^4 - 2x^2 + 1)' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$.

Критические точки найдем из условия $y' = 0$: $4x(x-1)(x+1) = 0$, откуда $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Исследуем знаки производной на интервалах:

При $x \in (-\infty; -1)$, $y' < 0$ (функция убывает).

При $x \in (-1; 0)$, $y' > 0$ (функция возрастает).

При $x \in (0; 1)$, $y' < 0$ (функция убывает).

При $x \in (1; +\infty)$, $y' > 0$ (функция возрастает).

В точке $x = -1$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума. $y_{max} = y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 1 = 1$.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$.

Ответ: точки минимума $x=-1$ и $x=1$, $y_{min}=0$; точка максимума $x=0$, $y_{max}=1$.

г) $y = 4x - x^4$

Область определения — $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная: $y' = (4x - x^4)' = 4 - 4x^3 = 4(1 - x^3)$.

Критическая точка: $y' = 0 \Rightarrow 1 - x^3 = 0 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$.

При $x < 1$, $1 - x^3 > 0$, значит $y' > 0$ (функция возрастает).

При $x > 1$, $1 - x^3 < 0$, значит $y' < 0$ (функция убывает).

В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума.

$y_{max} = y(1) = 4(1) - 1^4 = 3$.

Ответ: точка максимума $x=1$, $y_{max}=3$.

д) $y = x^3 + x^2 - 8x + 1$

Область определения — $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная: $y' = (x^3 + x^2 - 8x + 1)' = 3x^2 + 2x - 8$.

Критические точки: $y' = 0 \Rightarrow 3x^2 + 2x - 8 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$.

Корни: $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$, $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

График производной $y'$ — парабола с ветвями вверх, поэтому $y' > 0$ на $(-\infty; -2) \cup (4/3; +\infty)$ и $y' < 0$ на $(-2; 4/3)$.

В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «-» — точка максимума. $y_{max} = y(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 - 8(-2) + 1 = -8 + 4 + 16 + 1 = 13$.

В точке $x = 4/3$ производная меняет знак с «-» на «+» — точка минимума. $y_{min} = y(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3})^3 + (\frac{4}{3})^2 - 8(\frac{4}{3}) + 1 = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} - \frac{32}{3} + 1 = \frac{64 + 48 - 288 + 27}{27} = -\frac{149}{27}$.

Ответ: точка максимума $x=-2$, $y_{max}=13$; точка минимума $x=4/3$, $y_{min}=-149/27$.

е) $y = \frac{4}{3}x^3 + 24x - 3$

Область определения — $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная: $y' = (\frac{4}{3}x^3 + 24x - 3)' = \frac{4}{3} \cdot 3x^2 + 24 = 4x^2 + 24$.

Уравнение $y' = 0$ ($4x^2 + 24 = 0$ или $x^2 = -6$) не имеет действительных корней.

Так как $y' = 4x^2 + 24 > 0$ для всех $x$, функция монотонно возрастает на всей области определения и не имеет экстремумов.

Ответ: экстремумов нет.

ж) $y = \frac{3x}{x^2 + 1}$

Область определения — $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как знаменатель $x^2 + 1 > 0$ при любых $x$.

Найдем производную по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(3x)'(x^2+1) - 3x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{3(x^2+1) - 3x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{3x^2+3-6x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{3-3x^2}{(x^2+1)^2}$.

Критические точки: $y' = 0 \Rightarrow 3 - 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

Знак производной определяется знаком числителя $3(1-x^2)$.

При $x \in (-\infty; -1)$, $y' < 0$ (убывает).

При $x \in (-1; 1)$, $y' > 0$ (возрастает).

При $x \in (1; +\infty)$, $y' < 0$ (убывает).

В точке $x = -1$ смена знака с «-» на «+» — точка минимума. $y_{min} = y(-1) = \frac{3(-1)}{(-1)^2+1} = -\frac{3}{2}$.

В точке $x = 1$ смена знака с «+» на «-» — точка максимума. $y_{max} = y(1) = \frac{3(1)}{1^2+1} = \frac{3}{2}$.

Ответ: точка минимума $x=-1$, $y_{min}=-3/2$; точка максимума $x=1$, $y_{max}=3/2$.

з) $y = 3x - \frac{27}{2 - x^2}$

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $2 - x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm \sqrt{2}$.$D(y) = (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.

Найдем производную: $y' = (3x - 27(2 - x^2)^{-1})' = 3 - 27(-1)(2 - x^2)^{-2}(-2x) = 3 - \frac{54x}{(2 - x^2)^2}$.

Критические точки найдем из условия $y' = 0$: $3 = \frac{54x}{(2 - x^2)^2} \Rightarrow 3(2 - x^2)^2 = 54x \Rightarrow (2 - x^2)^2 = 18x$.

Раскрыв скобки, получим уравнение четвертой степени: $x^4 - 4x^2 + 4 = 18x$, или $x^4 - 4x^2 - 18x + 4 = 0$.

Это уравнение не имеет простых рациональных корней, и его решение в явном виде затруднительно. Однако, можно проанализировать поведение производной. Анализ показывает, что уравнение $y'=0$ имеет два действительных корня: $x_1$ и $x_2$.

Исследуем знаки производной на интервалах, учитывая точки разрыва $x=\pm\sqrt{2}$:

При $x=0$, $y'(0)=3 > 0$. При $x=1$, $y'(1) = 3-54=-51<0$. Значит, есть корень $x_1 \in (0;1)$, в котором знак $y'$ меняется с «+» на «-». Это точка локального максимума.

При $x=3$, $y'(3) = 3 - \frac{54 \cdot 3}{(2-9)^2} = 3 - \frac{162}{49} < 0$. При $x=4$, $y'(4) = 3 - \frac{54 \cdot 4}{(2-16)^2} = 3 - \frac{216}{196} > 0$. Значит, есть корень $x_2 \in (3;4)$, в котором знак $y'$ меняется с «-» на «+». Это точка локального минимума.

Ответ: функция имеет точку локального максимума $x_1 \in (0; 1)$ и точку локального минимума $x_2 \in (3; 4)$.