Номер 61, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

61. Пусть $x$ и $y$ различные числа и делятся на $z$. Укажите верное утверждение:

A) $\frac{x - y}{5x}$ делится на $z$;

B) $\frac{6y}{x + y}$ делится на $z$;

C) $-4x + 3$ делится на $z$;

D) $-4x + 3y$ делится на $z$;

E) $\frac{x^3}{y^3}$ делится на $z$.

По условию задачи, числа $x$ и $y$ делятся на $z$. Это означает, что существуют такие целые числа $k$ и $m$, что $x = k \cdot z$ и $y = m \cdot z$. Также дано, что $x$ и $y$ — различные числа, следовательно, $x \ne y$ и $k \ne m$. Проанализируем каждое из предложенных утверждений.

A) $\frac{x - y}{5x}$ делится на $z$

Подставим $x = kz$ и $y = mz$ в данное выражение:

$\frac{x - y}{5x} = \frac{kz - mz}{5(kz)} = \frac{z(k - m)}{5kz} = \frac{k - m}{5k}$

Полученное выражение не всегда является целым числом и не содержит множителя $z$, а значит, в общем случае оно не делится на $z$. Например, если $z=2, x=4 (k=2), y=6 (m=3)$, то $\frac{4-6}{5 \cdot 4} = \frac{-2}{20} = -0.1$, что не делится на $z=2$. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

B) $\frac{6y}{x + y}$ делится на $z$

Подставим $x = kz$ и $y = mz$:

$\frac{6y}{x + y} = \frac{6(mz)}{kz + mz} = \frac{6mz}{z(k + m)} = \frac{6m}{k + m}$

Как и в предыдущем случае, результат не всегда является целым числом и не обязан делиться на $z$. Для примера $z=2, x=4 (k=2), y=6 (m=3)$ получаем $\frac{6 \cdot 6}{4+6} = \frac{36}{10} = 3.6$, что не делится на $z=2$. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

C) $-4x + 3$ делится на $z$

Подставим $x = kz$:

$-4x + 3 = -4(kz) + 3 = z(-4k) + 3$

Это выражение будет делиться на $z$ только тогда, когда остаток от деления, равный 3, будет делиться на $z$. Это выполняется не для всех $z$. Например, если $z=5$ и $x=10$, то $-4(10)+3 = -37$, что не делится на 5. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

D) $-4x + 3y$ делится на $z$

Это утверждение следует из свойств делимости. Если некоторое число $a$ делится на $z$, то и произведение этого числа на любое целое ($c \cdot a$) также делится на $z$. Также, если два числа ($a$ и $b$) делятся на $z$, то их сумма ($a+b$) и разность ($a-b$) тоже делятся на $z$.

Поскольку $x$ делится на $z$, то и $-4x$ делится на $z$.

Поскольку $y$ делится на $z$, то и $3y$ делится на $z$.

Следовательно, их сумма $-4x+3y$ также делится на $z$.

Алгебраическая проверка: подставим $x=kz$ и $y=mz$:

$-4x + 3y = -4(kz) + 3(mz) = -4kz + 3mz = z(-4k + 3m)$

Так как $k$ и $m$ — целые числа, то $(-4k + 3m)$ также является целым числом. Выражение имеет вид $z \cdot N$, где $N$ — целое число, что по определению означает, что оно делится на $z$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

E) $\frac{x^3}{y^3}$ делится на $z$

Подставим $x = kz$ и $y = mz$:

$\frac{x^3}{y^3} = \frac{(kz)^3}{(mz)^3} = \frac{k^3 z^3}{m^3 z^3} = \frac{k^3}{m^3}$

Результат не зависит от $z$ и в общем случае не является целым числом, кратным $z$. Например, для $z=2, x=4 (k=2), y=6 (m=3)$ получаем $\frac{4^3}{6^3} = \frac{64}{216} = \frac{8}{27}$, что не делится на 2. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.