Номер 58, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

58. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

а) $y = 2x - x^2$;

б) $y = x^2 + 7$;

в) $y = x^3 - 3x + 10;

г) $y = \frac{1}{3}x^3 - 9x - 11;

д) $y = \frac{x}{x+1}$;

е) $y = \frac{x+1}{x}$;

ж) $y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 6x + 1;

з) $y = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{7}{2}x^2 - 6x + 2$.

а) Для функции $y = 2x - x^2$ находим промежутки возрастания и убывания.

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции: $y' = (2x - x^2)' = 2 - 2x$.

3. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $y' = 0$. Получаем уравнение $2 - 2x = 0$, откуда $x = 1$. Это единственная критическая точка.

4. Критическая точка $x=1$ делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них. Если $y' > 0$, функция возрастает, если $y' < 0$ — убывает.

- На интервале $(-\infty; 1)$: возьмем $x=0$, $y'(0) = 2 - 2 \cdot 0 = 2 > 0$. Значит, функция возрастает.

- На интервале $(1; +\infty)$: возьмем $x=2$, $y'(2) = 2 - 2 \cdot 2 = -2 < 0$. Значит, функция убывает.

Включая критическую точку в промежутки, получаем, что функция возрастает на $(-\infty, 1]$ и убывает на $[1, +\infty)$.

Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty, 1]$; промежуток убывания: $[1, +\infty)$.

б) Для функции $y = x^2 + 7$.

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная: $y' = (x^2 + 7)' = 2x$.

3. Критические точки: $y' = 0 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

- При $x \in (-\infty; 0)$, $y' = 2x < 0$, функция убывает.

- При $x \in (0; +\infty)$, $y' = 2x > 0$, функция возрастает.

Ответ: промежуток возрастания: $[0, +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, 0]$.

в) Для функции $y = x^3 - 3x + 10$.

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная: $y' = (x^3 - 3x + 10)' = 3x^2 - 3$.

3. Критические точки: $y' = 0 \implies 3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies x = -1$ и $x = 1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$. График $y' = 3x^2 - 3$ — парабола с ветвями вверх.

- При $x \in (-\infty; -1)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (-1; 1)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (1; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Ответ: промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$; промежуток убывания: $[-1, 1]$.

г) Для функции $y = \frac{1}{3}x^3 - 9x - 11$.

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная: $y' = (\frac{1}{3}x^3 - 9x - 11)' = x^2 - 9$.

3. Критические точки: $y' = 0 \implies x^2 - 9 = 0 \implies x = -3$ и $x = 3$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$.

- При $x \in (-\infty; -3)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (-3; 3)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (3; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Ответ: промежутки возрастания: $(-\infty, -3]$ и $[3, +\infty)$; промежуток убывания: $[-3, 3]$.

д) Для функции $y = \frac{x}{x+1}$.

1. Область определения: знаменатель не равен нулю, т.е. $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Производная (по правилу частного): $y' = \frac{(x)'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.

3. Уравнение $y' = 0$ решений не имеет. Производная не определена в точке $x=-1$, которая не входит в область определения. Критических точек нет.

4. Знак производной $y' = \frac{1}{(x+1)^2}$ положителен при всех $x$ из области определения, так как числитель положителен и знаменатель является полным квадратом.

Следовательно, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: промежутки возрастания: $(-\infty, -1)$ и $(-1, +\infty)$; промежутков убывания нет.

е) Для функции $y = \frac{x+1}{x}$.

1. Область определения: $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Преобразуем функцию: $y = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{x}$. Находим производную: $y' = (1 + x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

3. Уравнение $y' = 0$ решений не имеет. Производная не определена в точке $x=0$, которая не входит в область определения. Критических точек нет.

4. Знак производной $y' = -\frac{1}{x^2}$ отрицателен при всех $x$ из области определения, так как $x^2>0$.

Следовательно, функция убывает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: промежутков возрастания нет; промежутки убывания: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

ж) Для функции $y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 6x + 1$.

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная: $y' = (\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 6x + 1)' = x^2 + x - 6$.

3. Критические точки: $y' = 0 \implies x^2 + x - 6 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = 2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$ и $(2; +\infty)$.

- При $x \in (-\infty; -3)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (-3; 2)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (2; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Ответ: промежутки возрастания: $(-\infty, -3]$ и $[2, +\infty)$; промежуток убывания: $[-3, 2]$.

з) Для функции $y = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{7}{2}x^2 - 6x + 2$.

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная: $y' = (-\frac{1}{3}x^3 + \frac{7}{2}x^2 - 6x + 2)' = -x^2 + 7x - 6$.

3. Критические точки: $y' = 0 \implies -x^2 + 7x - 6 = 0 \implies x^2 - 7x + 6 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 6$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 1)$, $(1; 6)$ и $(6; +\infty)$. График $y' = -x^2 + 7x - 6$ — парабола с ветвями вниз.

- При $x \in (-\infty; 1)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (1; 6)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (6; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

Ответ: промежуток возрастания: $[1, 6]$; промежутки убывания: $(-\infty, 1]$ и $[6, +\infty)$.