Номер 51, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

51. Найдите обратную функцию и область ее определения для функции, заданной в указанном промежутке:

а) $f(x) = 2x + 3, x \in R;$

б) $f(x) = (x - 1)^2, x \in [0; +\infty);$

в) $f(x) = x^2 - 1, x \in [0; +\infty).$

а) Исходная функция $f(x) = 2x + 3$ определена на всей числовой прямой $x \in R$. Это линейная функция, она является строго возрастающей на всей области определения, а значит, обратима.Чтобы найти обратную функцию, заменим $f(x)$ на $y$:$y = 2x + 3$Теперь выразим $x$ через $y$:$2x = y - 3$$x = \frac{y - 3}{2}$Заменив $y$ на $x$ и $x$ на $g(x)$, мы получаем формулу для обратной функции:$g(x) = \frac{x - 3}{2}$Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции. Для функции $f(x) = 2x + 3$ область значений — это все действительные числа, то есть $E(f) = R$. Следовательно, область определения обратной функции $D(g) = R$.

Ответ: Обратная функция $g(x) = \frac{x - 3}{2}$, область ее определения $x \in R$.

б) Заданная функция $f(x) = (x - 1)^2$ на промежутке $x \in [0; +\infty)$ не является строго монотонной. Вершина параболы, график которой представляет эту функцию, находится в точке $x = 1$. На отрезке $[0, 1]$ функция убывает (от $f(0)=1$ до $f(1)=0$), а на промежутке $[1, +\infty)$ — возрастает (от $f(1)=0$ до $+\infty$). Поскольку функция не является взаимно однозначной на указанном промежутке (например, $f(0)=1$ и $f(2)=1$), у нее не существует обратной функции на всей области определения $[0; +\infty)$.

Часто в таких задачах предполагается, что нужно найти обратную функцию на участке монотонности. Рассмотрим промежуток $x \in [1; +\infty)$, на котором функция $f(x)$ строго возрастает и, следовательно, обратима.

Пусть $y = f(x)$, тогда $y = (x - 1)^2$.Выразим $x$ через $y$. Так как $y \ge 0$, можно извлечь квадратный корень из обеих частей:$\sqrt{y} = |x - 1|$Поскольку мы рассматриваем промежуток $x \in [1; +\infty)$, то $x - 1 \ge 0$, и, следовательно, $|x - 1| = x - 1$.$\sqrt{y} = x - 1$$x = \sqrt{y} + 1$Заменив $y$ на $x$, получаем обратную функцию $g(x) = \sqrt{x} + 1$.Область определения обратной функции $g(x)$ — это область значений функции $f(x)$ на промежутке $[1; +\infty)$. На этом промежутке $f(x)$ принимает значения от $f(1)=0$ до $+\infty$. Таким образом, область значений $E(f) = [0; +\infty)$, и это является областью определения для $g(x)$.

Ответ: На заданном промежутке $x \in [0; +\infty)$ обратной функции не существует. Если же рассматривать функцию на промежутке монотонности $x \in [1; +\infty)$, то обратная функция $g(x) = \sqrt{x} + 1$, и область ее определения $x \in [0; +\infty)$.

в) Исходная функция $f(x) = x^2 - 1$ на промежутке $x \in [0; +\infty)$ является строго возрастающей. Вершина параболы находится в точке $x=0$, поэтому на указанном промежутке функция обратима.

Пусть $y = f(x)$, тогда $y = x^2 - 1$.Выразим $x$ через $y$:$x^2 = y + 1$$x = \pm \sqrt{y + 1}$Поскольку по условию $x \in [0; +\infty)$, мы должны выбрать неотрицательное значение, то есть $x = \sqrt{y + 1}$.Заменив $y$ на $x$, получаем обратную функцию:$g(x) = \sqrt{x + 1}$Область определения обратной функции $g(x)$ совпадает с областью значений исходной функции $f(x)$ на промежутке $[0; +\infty)$.$f(0) = 0^2 - 1 = -1$. При $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$.Следовательно, область значений $f(x)$ на данном промежутке есть $E(f) = [-1; +\infty)$. Это и будет область определения для обратной функции $g(x)$.

Ответ: Обратная функция $g(x) = \sqrt{x + 1}$, область ее определения $x \in [-1; +\infty)$.