Номер 50, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

50. Используя простейшие преобразования графиков, постройте графики следующих функций:

а) $y = x^2 - 2x + 5$;б) $y = x^2 + 4$;

в) $y = 2 - \frac{1}{x}$;г) $y = 1 + \frac{2}{x - 3}$;

д) $y = 2\sin x$;е) $y = 2 + \cos x$;

ж) $y = 1 + 3\sin 2x$;з) $y = 3\cos \left(\frac{\pi}{6} + x\right)$;

и) $y = \operatorname{tg} \left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 2$;к) $y = \operatorname{ctg} \left(\frac{\pi}{6} + x\right) - 1$.

а) $y = x^2 - 2x + 5$

Преобразуем функцию, выделив полный квадрат:

$y = (x^2 - 2x + 1) - 1 + 5 = (x - 1)^2 + 4$

Построение графика этой функции выполняется в несколько шагов:

1. Строим базовый график — параболу $y = x^2$.

2. Сдвигаем график $y = x^2$ на 1 единицу вправо по оси Ox, чтобы получить график функции $y = (x - 1)^2$.

3. Сдвигаем полученный график $y = (x - 1)^2$ на 4 единицы вверх по оси Oy, чтобы получить искомый график $y = (x - 1)^2 + 4$.

Ответ: График функции — это парабола, полученная из графика $y = x^2$ сдвигом на 1 единицу вправо и на 4 единицы вверх. Вершина параболы находится в точке $(1; 4)$.

б) $y = x^2 + 4$

Построение графика этой функции выполняется в несколько шагов:

1. Строим базовый график — параболу $y = x^2$.

2. Сдвигаем график $y = x^2$ на 4 единицы вверх по оси Oy, чтобы получить искомый график $y = x^2 + 4$.

Ответ: График функции — это парабола, полученная из графика $y = x^2$ сдвигом на 4 единицы вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; 4)$.

в) $y = 2 - \frac{1}{x}$

Перепишем функцию в виде $y = -\frac{1}{x} + 2$.

Построение графика этой функции выполняется в несколько шагов:

1. Строим базовый график — гиперболу $y = \frac{1}{x}$.

2. Отображаем график $y = \frac{1}{x}$ симметрично относительно оси Ox, чтобы получить график $y = -\frac{1}{x}$. Ветви гиперболы теперь расположены во II и IV координатных четвертях.

3. Сдвигаем полученный график $y = -\frac{1}{x}$ на 2 единицы вверх по оси Oy, чтобы получить искомый график $y = -\frac{1}{x} + 2$.

Ответ: График функции — это гипербола, полученная из графика $y = \frac{1}{x}$ путем симметричного отображения относительно оси Ox и последующего сдвига на 2 единицы вверх. Горизонтальная асимптота: $y = 2$, вертикальная асимптота: $x = 0$.

г) $y = 1 + \frac{2}{x - 3}$

Перепишем функцию в виде $y = \frac{2}{x - 3} + 1$.

Построение графика этой функции выполняется в несколько шагов:

1. Строим базовый график — гиперболу $y = \frac{1}{x}$.

2. Растягиваем график $y = \frac{1}{x}$ вдоль оси Oy в 2 раза, чтобы получить график $y = \frac{2}{x}$.

3. Сдвигаем полученный график $y = \frac{2}{x}$ на 3 единицы вправо по оси Ox, чтобы получить график $y = \frac{2}{x - 3}$.

4. Сдвигаем полученный график $y = \frac{2}{x - 3}$ на 1 единицу вверх по оси Oy, чтобы получить искомый график $y = \frac{2}{x - 3} + 1$.

Ответ: График функции — это гипербола, полученная из графика $y = \frac{1}{x}$ путем растяжения в 2 раза вдоль оси Oy, сдвига на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Горизонтальная асимптота: $y = 1$, вертикальная асимптота: $x = 3$.

д) $y = 2\sin{x}$

Построение графика этой функции выполняется в несколько шагов:

1. Строим базовый график — синусоиду $y = \sin{x}$.

2. Растягиваем график $y = \sin{x}$ вдоль оси Oy в 2 раза, чтобы получить искомый график $y = 2\sin{x}$.

Ответ: График функции — это синусоида, полученная из графика $y = \sin{x}$ растяжением в 2 раза вдоль оси Oy. Амплитуда колебаний равна 2, период $2\pi$.

е) $y = 2 + \cos{x}$

Перепишем функцию в виде $y = \cos{x} + 2$.

Построение графика этой функции выполняется в несколько шагов:

1. Строим базовый график — косинусоиду $y = \cos{x}$.

2. Сдвигаем график $y = \cos{x}$ на 2 единицы вверх по оси Oy, чтобы получить искомый график $y = \cos{x} + 2$.

Ответ: График функции — это косинусоида, полученная из графика $y = \cos{x}$ сдвигом на 2 единицы вверх по оси Oy. Область значений функции: $[1; 3]$.

ж) $y = 1 + 3\sin{2x}$

Перепишем функцию в виде $y = 3\sin(2x) + 1$.

Построение графика этой функции выполняется в несколько шагов:

1. Строим базовый график — синусоиду $y = \sin{x}$.

2. Сжимаем график $y = \sin{x}$ вдоль оси Ox в 2 раза, чтобы получить график $y = \sin(2x)$. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Растягиваем полученный график $y = \sin(2x)$ вдоль оси Oy в 3 раза, чтобы получить график $y = 3\sin(2x)$. Амплитуда становится равной 3.

4. Сдвигаем полученный график $y = 3\sin(2x)$ на 1 единицу вверх по оси Oy, чтобы получить искомый график $y = 3\sin(2x) + 1$.

Ответ: График функции — синусоида, полученная из графика $y = \sin{x}$ сжатием в 2 раза по оси Ox, растяжением в 3 раза по оси Oy и сдвигом на 1 единицу вверх. Период $T = \pi$, амплитуда 3, область значений $[-2; 4]$.

з) $y = 3\cos(\frac{\pi}{6} + x)$

Перепишем функцию в виде $y = 3\cos(x + \frac{\pi}{6})$.

Построение графика этой функции выполняется в несколько шагов:

1. Строим базовый график — косинусоиду $y = \cos{x}$.

2. Сдвигаем график $y = \cos{x}$ на $\frac{\pi}{6}$ влево по оси Ox, чтобы получить график $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$.

3. Растягиваем полученный график $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$ вдоль оси Oy в 3 раза, чтобы получить искомый график $y = 3\cos(x + \frac{\pi}{6})$.

Ответ: График функции — косинусоида, полученная из графика $y = \cos{x}$ сдвигом на $\frac{\pi}{6}$ влево и растяжением в 3 раза вдоль оси Oy. Амплитуда равна 3, период $2\pi$.

и) $y = \tan(x - \frac{\pi}{3}) + 2$

Построение графика этой функции выполняется в несколько шагов:

1. Строим базовый график — тангенсоиду $y = \tan{x}$.

2. Сдвигаем график $y = \tan{x}$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо по оси Ox, чтобы получить график $y = \tan(x - \frac{\pi}{3})$.

3. Сдвигаем полученный график $y = \tan(x - \frac{\pi}{3})$ на 2 единицы вверх по оси Oy, чтобы получить искомый график $y = \tan(x - \frac{\pi}{3}) + 2$.

Ответ: График функции — тангенсоида, полученная из графика $y = \tan{x}$ сдвигом на $\frac{\pi}{3}$ вправо и на 2 единицы вверх. Центр симметрии смещается в точку $(\frac{\pi}{3}; 2)$.

к) $y = \cot(\frac{\pi}{6} + x) - 1$

Перепишем функцию в виде $y = \cot(x + \frac{\pi}{6}) - 1$.

Построение графика этой функции выполняется в несколько шагов:

1. Строим базовый график — котангенсоиду $y = \cot{x}$.

2. Сдвигаем график $y = \cot{x}$ на $\frac{\pi}{6}$ влево по оси Ox, чтобы получить график $y = \cot(x + \frac{\pi}{6})$.

3. Сдвигаем полученный график $y = \cot(x + \frac{\pi}{6})$ на 1 единицу вниз по оси Oy, чтобы получить искомый график $y = \cot(x + \frac{\pi}{6}) - 1$.

Ответ: График функции — котангенсоида, полученная из графика $y = \cot{x}$ сдвигом на $\frac{\pi}{6}$ влево и на 1 единицу вниз. Вертикальные асимптоты смещаются в $x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.