Номер 54, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

54. Составьте уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

a) $y=x^2-3x+4, x_0=1;$

б) $y=4-x^2, x_0=-1;$

в) $y=x^3+2x-1, x_0=0;$

г) $y=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x+1, x_0=3.$

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

а) $y = x^2 - 3x + 4, x_0 = 1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:

$f(1) = 1^2 - 3 \cdot 1 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 3x + 4)' = 2x - 3$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 2 \cdot 1 - 3 = -1$.

4. Подставим найденные значения $f(1) = 2$ и $f'(1) = -1$ в уравнение касательной:

$y = 2 + (-1)(x - 1)$

$y = 2 - x + 1$

$y = -x + 3$

Ответ: $y = -x + 3$.

б) $y = 4 - x^2, x_0 = -1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(-1) = 4 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (4 - x^2)' = -2x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = -2 \cdot (-1) = 2$.

4. Подставим найденные значения $f(-1) = 3$ и $f'(-1) = 2$ в уравнение касательной:

$y = 3 + 2(x - (-1))$

$y = 3 + 2(x + 1)$

$y = 3 + 2x + 2$

$y = 2x + 5$

Ответ: $y = 2x + 5$.

в) $y = x^3 + 2x - 1, x_0 = 0$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:

$f(0) = 0^3 + 2 \cdot 0 - 1 = -1$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 + 2x - 1)' = 3x^2 + 2$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = 3 \cdot 0^2 + 2 = 2$.

4. Подставим найденные значения $f(0) = -1$ и $f'(0) = 2$ в уравнение касательной:

$y = -1 + 2(x - 0)$

$y = 2x - 1$

Ответ: $y = 2x - 1$.

г) $y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1, x_0 = 3$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 3$:

$f(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 + 1 = \frac{1}{3} \cdot 27 - 2 \cdot 9 + 9 + 1 = 9 - 18 + 9 + 1 = 1$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2 \cdot 2x + 3 = x^2 - 4x + 3$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 3$:

$f'(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$.

4. Подставим найденные значения $f(3) = 1$ и $f'(3) = 0$ в уравнение касательной:

$y = 1 + 0 \cdot (x - 3)$

$y = 1$

Ответ: $y = 1$.