Номер 41, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

41. Решите неравенство $f'(x) \le 0$, если:

a) $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 6x;$

б) $f(x) = x^3 - 5,5x^2 - 20x;$

в) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 15;$

г) $f(x) = x^4 - 8x^2 + 20.$

а) Для функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 6x$ найдем ее производную.$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 6x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} + \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} - 6 = x^2 + x - 6$.Теперь необходимо решить неравенство $f'(x) \leq 0$, то есть $x^2 + x - 6 \leq 0$.Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$.По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -1$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -6$. Отсюда корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, значения функции меньше или равны нулю на промежутке между корнями, включая сами корни.Таким образом, решение неравенства: $x \in [-3; 2]$.Ответ: $[-3; 2]$.

б) Для функции $f(x) = x^3 - 5,5x^2 - 20x$ найдем ее производную.$f'(x) = (x^3 - 5,5x^2 - 20x)' = 3x^2 - 5,5 \cdot 2x - 20 = 3x^2 - 11x - 20$.Решим неравенство $f'(x) \leq 0$, то есть $3x^2 - 11x - 20 \leq 0$.Найдем корни уравнения $3x^2 - 11x - 20 = 0$ с помощью дискриминанта.$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361 = 19^2$.Корни уравнения:$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 19}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$.$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 19}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$.Графиком функции $y = 3x^2 - 11x - 20$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, неравенство выполняется на промежутке между корнями.Таким образом, решение неравенства: $x \in [-\frac{4}{3}; 5]$.Ответ: $[-\frac{4}{3}; 5]$.

в) Для функции $f(x) = x^3 + 3x^2 - 15$ найдем ее производную.$f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 15)' = 3x^2 + 6x$.Решим неравенство $f'(x) \leq 0$, то есть $3x^2 + 6x \leq 0$.Вынесем общий множитель за скобки: $3x(x + 2) \leq 0$.Корни выражения: $x=0$ и $x=-2$.Это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неположительные значения между корнями (включая концы).Таким образом, решение неравенства: $x \in [-2; 0]$.Ответ: $[-2; 0]$.

г) Для функции $f(x) = x^4 - 8x^2 + 20$ найдем ее производную.$f'(x) = (x^4 - 8x^2 + 20)' = 4x^3 - 16x$.Решим неравенство $f'(x) \leq 0$, то есть $4x^3 - 16x \leq 0$.Разложим левую часть на множители: $4x(x^2 - 4) \leq 0$, что равносильно $4x(x - 2)(x + 2) \leq 0$.Решим это неравенство методом интервалов.Корни выражения: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.Нанесем эти точки на числовую прямую. Они разбивают ее на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.Определим знак выражения $4x(x - 2)(x + 2)$ в каждом интервале.При $x > 2$ (например, $x=3$), все множители положительны, значит выражение положительно.Так как все корни имеют нечетную кратность (1), знаки на интервалах чередуются.Знаки по интервалам: $(-\infty; -2) \rightarrow -$, $(-2; 0) \rightarrow +$, $(0; 2) \rightarrow -$, $(2; +\infty) \rightarrow +$.Нам нужны промежутки, где выражение меньше или равно нулю.Это промежутки $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$.Ответ: $(-\infty; -2] \cup [0; 2]$.