Номер 27, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

27. a) $3\sin^2x + \cos^2x = 2\sin2x$;

б) $\sqrt{3} \sin2x - 6\cos^2x = -3$;

в) $\sin^2x + \frac{3}{2}\cos^2x = \frac{5}{2}\sin x \cdot \cos x$;

г) $6\sin^2x + 3\sin x \cdot \cos x - 5\cos^2x = 2$.

а) Исходное уравнение: $3\sin^2x + \cos^2x = 2\sin2x$.

Используем формулу двойного угла $\sin2x = 2\sin x\cos x$.

$3\sin^2x + \cos^2x = 2(2\sin x\cos x)$

$3\sin^2x + \cos^2x = 4\sin x\cos x$

Перенесем все члены в левую часть:

$3\sin^2x - 4\sin x\cos x + \cos^2x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2x = 1$. Подставив в уравнение, получим $3(1) - 0 + 0 = 3 \ne 0$. Значит, $\cos x \ne 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2x$ (это возможно, так как $\cos x \ne 0$):

$\frac{3\sin^2x}{\cos^2x} - \frac{4\sin x\cos x}{\cos^2x} + \frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

$3\tan^2x - 4\tan x + 1 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение:

$3t^2 - 4t + 1 = 0$

Решим его. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.

Корни: $t_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, $t_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Возвращаемся к замене:

1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = \frac{1}{3} \implies x = \arctan(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, x = \arctan(\frac{1}{3}) + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{3}\sin2x - 6\cos^2x = -3$.

Используем формулу понижения степени $\cos^2x = \frac{1+\cos2x}{2}$.

$\sqrt{3}\sin2x - 6\left(\frac{1+\cos2x}{2}\right) = -3$

$\sqrt{3}\sin2x - 3(1+\cos2x) = -3$

$\sqrt{3}\sin2x - 3 - 3\cos2x = -3$

$\sqrt{3}\sin2x - 3\cos2x = 0$

$\sqrt{3}\sin2x = 3\cos2x$

Предположим, $\cos2x \neq 0$. Тогда можно разделить обе части на $\cos2x$:

$\sqrt{3}\tan2x = 3$

$\tan2x = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

$2x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi k$

$2x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Если бы $\cos2x = 0$, то из уравнения $\sqrt{3}\sin2x - 3\cos2x = 0$ следовало бы, что $\sin2x = 0$. Но $\sin2x$ и $\cos2x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$. Следовательно, наше предположение было верным.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $\sin^2x + \frac{3}{2}\cos^2x = \frac{5}{2}\sin x\cos x$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$2\sin^2x + 3\cos^2x = 5\sin x\cos x$

Перенесем все члены в левую часть:

$2\sin^2x - 5\sin x\cos x + 3\cos^2x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2x = 1$. Подставив, получим $2(1) - 0 + 0 = 2 \ne 0$. Значит, $\cos x \ne 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2x$ (это возможно, так как $\cos x \ne 0$):

$2\frac{\sin^2x}{\cos^2x} - 5\frac{\sin x\cos x}{\cos^2x} + 3\frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

$2\tan^2x - 5\tan x + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение:

$2t^2 - 5t + 3 = 0$

Решим его. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

Корни: $t_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$, $t_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Возвращаемся к замене:

1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = \frac{3}{2} \implies x = \arctan(\frac{3}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, x = \arctan(\frac{3}{2}) + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $6\sin^2x + 3\sin x\cos x - 5\cos^2x = 2$.

Для приведения к однородному уравнению используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2x + \cos^2x$. Заменим 2 на $2(\sin^2x + \cos^2x)$.

$6\sin^2x + 3\sin x\cos x - 5\cos^2x = 2(\sin^2x + \cos^2x)$

$6\sin^2x + 3\sin x\cos x - 5\cos^2x = 2\sin^2x + 2\cos^2x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$(6\sin^2x - 2\sin^2x) + 3\sin x\cos x + (-5\cos^2x - 2\cos^2x) = 0$

$4\sin^2x + 3\sin x\cos x - 7\cos^2x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2x = 1$. Подставив, получим $4(1) + 0 - 0 = 4 \ne 0$. Значит, $\cos x \ne 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2x$ (это возможно, так как $\cos x \ne 0$):

$4\frac{\sin^2x}{\cos^2x} + 3\frac{\sin x\cos x}{\cos^2x} - 7\frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

$4\tan^2x + 3\tan x - 7 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение:

$4t^2 + 3t - 7 = 0$

Решим его. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 9 + 112 = 121 = 11^2$.

Корни: $t = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 \pm 11}{8}$.

$t_1 = \frac{-3 + 11}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

$t_2 = \frac{-3 - 11}{8} = -\frac{14}{8} = -\frac{7}{4}$.

Возвращаемся к замене:

1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = -\frac{7}{4} \implies x = \arctan(-\frac{7}{4}) + \pi n = -\arctan(\frac{7}{4}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, x = -\arctan(\frac{7}{4}) + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.