Номер 24.6, страница 136 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

24.6. Вычислите $D(X)$, используя закон распределения случайной величины $Y$ (табл. 34, 35):

$Y$ -2 -1 1 2 3

$P$ 0,3 0,1 0,2 0,1 0,3

$Y$ -2 -1 1 2

$p$ 0,1 0,2 0,5 0,2

Таблица 34

Для вычисления дисперсии $D(Y)$ случайной величины Y, заданной законом распределения, воспользуемся формулой: $D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2$, где $M(Y)$ — математическое ожидание Y, а $M(Y^2)$ — математическое ожидание $Y^2$. В условии задачи указано $D(X)$, но распределение дано для величины $Y$. Будем считать, что это опечатка, и требуется найти $D(Y)$.

Шаг 1: Найдем математическое ожидание $M(Y)$. Это сумма произведений каждого значения случайной величины на его вероятность.

$M(Y) = \sum y_i p_i = (-2) \cdot 0,3 + (-1) \cdot 0,1 + 1 \cdot 0,2 + 2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,3$

$M(Y) = -0,6 - 0,1 + 0,2 + 0,2 + 0,9 = 0,6$.

Шаг 2: Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(Y^2)$. Это сумма произведений квадрата каждого значения случайной величины на его вероятность.

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = (-2)^2 \cdot 0,3 + (-1)^2 \cdot 0,1 + 1^2 \cdot 0,2 + 2^2 \cdot 0,1 + 3^2 \cdot 0,3$.

$M(Y^2) = 4 \cdot 0,3 + 1 \cdot 0,1 + 1 \cdot 0,2 + 4 \cdot 0,1 + 9 \cdot 0,3 = 1,2 + 0,1 + 0,2 + 0,4 + 2,7 = 4,6$.

Шаг 3: Вычислим дисперсию $D(Y)$ по формуле $D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2$.

$D(Y) = 4,6 - (0,6)^2 = 4,6 - 0,36 = 4,24$.

Ответ: $4,24$.

Таблица 35

Аналогично вычислим дисперсию для случайной величины, заданной в таблице 35, используя ту же формулу $D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2$.

Шаг 1: Найдем математическое ожидание $M(Y)$.

$M(Y) = \sum y_i p_i = (-2) \cdot 0,1 + (-1) \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,5 + 2 \cdot 0,2$

$M(Y) = -0,2 - 0,2 + 0,5 + 0,4 = 0,5$.

Шаг 2: Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(Y^2)$.

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = (-2)^2 \cdot 0,1 + (-1)^2 \cdot 0,2 + 1^2 \cdot 0,5 + 2^2 \cdot 0,2$.

$M(Y^2) = 4 \cdot 0,1 + 1 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,5 + 4 \cdot 0,2 = 0,4 + 0,2 + 0,5 + 0,8 = 1,9$.

Шаг 3: Вычислим дисперсию $D(Y)$.

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 1,9 - (0,5)^2 = 1,9 - 0,25 = 1,65$.

Ответ: $1,65$.