Номер 24.8, страница 137 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

24.8. Заполните таблицу, задающую закон распределения случайной величины X, если доли неизвестных вероятностей одинаковы. Используя таблицу 36, найдите $M(X)$, $D(X)$, $\sigma(X):$

Таблица 36

Заполнение таблицы

По определению закона распределения дискретной случайной величины, сумма всех вероятностей $p_i$ должна быть равна единице: $\sum p_i = 1$. В таблице даны четыре вероятности со значением 0,1 и две неизвестные вероятности. По условию, доли неизвестных вероятностей одинаковы, поэтому мы можем обозначить каждую из них как $p$.

Сумма известных вероятностей: $0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,4$.

Следовательно, сумма двух неизвестных вероятностей должна быть равна: $p + p = 2p = 1 - 0,4 = 0,6$.

Отсюда находим значение $p$: $p = 0,6 / 2 = 0,3$.

Таким образом, вероятности, соответствующие значениям $X=12$ и $X=15$, равны 0,3. Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ: Вероятности, соответствующие значениям X=12 и X=15, равны 0,3.

Нахождение M(X)

Математическое ожидание $M(X)$ вычисляется как сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности по формуле: $M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$.

Используя данные из заполненной таблицы, получаем: $M(X) = 3 \cdot 0,1 + 7 \cdot 0,1 + 12 \cdot 0,3 + 15 \cdot 0,3 + 18 \cdot 0,1 + 21 \cdot 0,1$

$M(X) = 0,3 + 0,7 + 3,6 + 4,5 + 1,8 + 2,1 = 13$.

Ответ: $M(X) = 13$.

Нахождение D(X)

Дисперсия $D(X)$ находится по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$. Сначала вычислим $M(X^2)$ — математическое ожидание квадрата случайной величины: $M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$.

$M(X^2) = 3^2 \cdot 0,1 + 7^2 \cdot 0,1 + 12^2 \cdot 0,3 + 15^2 \cdot 0,3 + 18^2 \cdot 0,1 + 21^2 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 9 \cdot 0,1 + 49 \cdot 0,1 + 144 \cdot 0,3 + 225 \cdot 0,3 + 324 \cdot 0,1 + 441 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 0,9 + 4,9 + 43,2 + 67,5 + 32,4 + 44,1 = 193$.

Теперь можем найти дисперсию, подставив найденные значения $M(X^2)$ и $M(X)$: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 193 - 13^2 = 193 - 169 = 24$.

Ответ: $D(X) = 24$.

Нахождение σ(X)

Среднее квадратичное отклонение $\sigma(X)$ — это квадратный корень из дисперсии: $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$.

$\sigma(X) = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

Ответ: $\sigma(X) = 2\sqrt{6}$.