Номер 24.11, страница 137 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

24.11. Законы распределения случайных величин X и Y заданы таблицами 39, 40:

Таблица 39

X 3 21 30

P 0,25 ? 0,45

Таблица 40

Y 24 26 28

p 0,25 0,25 ?

Вычислите следующие величины: $M(X)$, $M(Y)$; $M(X - M(X))$, $M(Y - M(Y))$, $D(X)$, $D(Y)$.

Для решения задачи сначала найдем недостающие вероятности в таблицах распределения. Сумма всех вероятностей в любом законе распределения должна быть равна 1.

Для случайной величины X (Таблица 39):

$P(X=21) = 1 - P(X=3) - P(X=30) = 1 - 0,25 - 0,45 = 0,30$.

Для случайной величины Y (Таблица 40):

$P(Y=28) = 1 - P(Y=24) - P(Y=26) = 1 - 0,25 - 0,25 = 0,50$.

Теперь, когда законы распределения полностью определены, можно вычислить требуемые величины.

M(X)

Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины вычисляется по формуле $M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$.

$M(X) = 3 \cdot 0,25 + 21 \cdot 0,30 + 30 \cdot 0,45 = 0,75 + 6,3 + 13,5 = 20,55$.

Ответ: $20,55$.

M(Y)

Аналогично вычисляем математическое ожидание для случайной величины Y.

$M(Y) = 24 \cdot 0,25 + 26 \cdot 0,25 + 28 \cdot 0,50 = 6 + 6,5 + 14 = 26,5$.

Ответ: $26,5$.

M(X − M(X))

Это математическое ожидание центрированной случайной величины. Одним из основных свойств математического ожидания является то, что математическое ожидание отклонения случайной величины от её математического ожидания равно нулю.

$M(X - M(X)) = M(X) - M(M(X)) = M(X) - M(X) = 0$.

Ответ: $0$.

M(Y − M(Y))

Аналогично для случайной величины Y.

$M(Y - M(Y)) = M(Y) - M(Y) = 0$.

Ответ: $0$.

D(X)

Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.

Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины X, $M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$.

$M(X^2) = 3^2 \cdot 0,25 + 21^2 \cdot 0,30 + 30^2 \cdot 0,45 = 9 \cdot 0,25 + 441 \cdot 0,30 + 900 \cdot 0,45 = 2,25 + 132,3 + 405 = 539,55$.

Теперь вычислим дисперсию:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 539,55 - (20,55)^2 = 539,55 - 422,3025 = 117,2475$.

Ответ: $117,2475$.

D(Y)

Аналогично вычисляем дисперсию для случайной величины Y.

Сначала найдем $M(Y^2) = \sum_{i=1}^{n} y_i^2 p_i$.

$M(Y^2) = 24^2 \cdot 0,25 + 26^2 \cdot 0,25 + 28^2 \cdot 0,50 = 576 \cdot 0,25 + 676 \cdot 0,25 + 784 \cdot 0,50 = 144 + 169 + 392 = 705$.

Теперь вычислим дисперсию:

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 705 - (26,5)^2 = 705 - 702,25 = 2,75$.

Ответ: $2,75$.