Номер 24.12, страница 137 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

$M(Y)=M(X), D(Y)=D(X)$

24.12. Законы распределения точного попадания двух стрелков при одном выстреле заданы таблицами 41, 42:

Таблица 41

$X$: 8, 8, 10

$P$: 0,4, 0,1, 0,5

Таблица 42

$Y$: 8, 9, 10

$p$: 0,2, 0,5, 0,3

Какой стрелок точно попадет в цель?

Для того чтобы определить, какой из стрелков точнее, необходимо сравнить числовые характеристики их законов распределения. Основными показателями являются математическое ожидание (среднее количество очков за выстрел) и дисперсия (мера разброса результатов). Стрелок, у которого математическое ожидание выше, а дисперсия ниже, считается более точным и стабильным.

Найдем математическое ожидание для первого стрелка (случайная величина X). Согласно Таблице 41, возможные значения очков - 8 и 10. Вероятность набрать 8 очков складывается из двух указанных случаев: $P(X=8) = 0,4 + 0,1 = 0,5$. Вероятность набрать 10 очков равна $P(X=10) = 0,5$.Математическое ожидание $M(X)$ вычисляется по формуле $M(X) = \sum x_i p_i$:

$M(X) = 8 \cdot 0,5 + 10 \cdot 0,5 = 4,0 + 5,0 = 9,0$.

Теперь найдем математическое ожидание для второго стрелка (случайная величина Y). Используя данные из Таблицы 42, вычислим $M(Y)$:

$M(Y) = \sum y_i p_i = 8 \cdot 0,2 + 9 \cdot 0,5 + 10 \cdot 0,3 = 1,6 + 4,5 + 3,0 = 9,1$.

Сравнивая математические ожидания, получаем $M(Y) > M(X)$ ($9,1 > 9,0$). Это означает, что в среднем второй стрелок набирает больше очков.

Для полноты анализа сравним также дисперсии, которые характеризуют стабильность (кучность) стрельбы. Дисперсия вычисляется по формуле $D(Z) = M(Z^2) - [M(Z)]^2$.

Для первого стрелка:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 8^2 \cdot 0,5 + 10^2 \cdot 0,5 = 32 + 50 = 82$.

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 82 - 9,0^2 = 82 - 81 = 1,0$.

Для второго стрелка:

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = 8^2 \cdot 0,2 + 9^2 \cdot 0,5 + 10^2 \cdot 0,3 = 12,8 + 40,5 + 30 = 83,3$.

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 83,3 - 9,1^2 = 83,3 - 82,81 = 0,49$.

Сравнивая дисперсии, видим, что $D(Y) < D(X)$ ($0,49 < 1,0$), что указывает на большую стабильность результатов второго стрелка.

Поскольку у второго стрелка и средний результат (математическое ожидание) выше, и разброс результатов (дисперсия) меньше, он является более точным стрелком.

Ответ: Второй стрелок попадет в цель точнее.