Номер 18, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

18. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции на заданном промежутке:

а) $f(x) = x - x^2$, $[1; 2];$

б) $f(x) = x^2 + x + 1$, $[0; 1];$

в) $f(x) = x^3 - 3x + 7$, $[-3; 1];$

г) $f(x) = 3x^3 - x + 1$, $[-2; 3].$

а) $f(x) = x - x^2$ на промежутке $[1; 2]$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке найдем ее производную и критические точки.Производная функции: $f'(x) = (x - x^2)' = 1 - 2x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $1 - 2x = 0$, откуда $x = 0.5$.

Критическая точка $x = 0.5$ не принадлежит заданному промежутку $[1; 2]$. Следовательно, наименьшее и наибольшее значения функция достигает на концах этого промежутка.

Вычислим значения функции в точках $x=1$ и $x=2$:

$f(1) = 1 - 1^2 = 1 - 1 = 0$

$f(2) = 2 - 2^2 = 2 - 4 = -2$

Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшее значение функции равно -2, а наибольшее — 0.

Ответ: наименьшее значение $f_{min} = -2$, наибольшее значение $f_{max} = 0$.

б) $f(x) = x^2 + x + 1$ на промежутке $[0; 1]$

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^2 + x + 1)' = 2x + 1$.

Найдем критические точки: $2x + 1 = 0$, откуда $x = -0.5$.

Критическая точка $x = -0.5$ не принадлежит заданному промежутку $[0; 1]$. Значит, функция достигает своих экстремальных значений на концах промежутка.

Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=1$:

$f(0) = 0^2 + 0 + 1 = 1$

$f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3$

Наименьшее значение функции на отрезке равно 1, а наибольшее — 3.

Ответ: наименьшее значение $f_{min} = 1$, наибольшее значение $f_{max} = 3$.

в) $f(x) = x^3 - 3x + 7$ на промежутке $[-3; 1]$

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^3 - 3x + 7)' = 3x^2 - 3$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x)=0$:

$3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1$.

Обе критические точки $x = -1$ и $x = 1$ принадлежат промежутку $[-3; 1]$ (точка $x=1$ является его концом).

Вычислим значения функции в критических точках и на концах промежутка: в точках $x=-3, x=-1, x=1$.

$f(-3) = (-3)^3 - 3(-3) + 7 = -27 + 9 + 7 = -11$

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 7 = -1 + 3 + 7 = 9$

$f(1) = 1^3 - 3(1) + 7 = 1 - 3 + 7 = 5$

Сравнивая полученные значения ($-11, 9, 5$), находим, что наименьшее значение равно -11, а наибольшее — 9.

Ответ: наименьшее значение $f_{min} = -11$, наибольшее значение $f_{max} = 9$.

г) $f(x) = 3x^3 - x + 1$ на промежутке $[-2; 3]$

Найдем производную функции: $f'(x) = (3x^3 - x + 1)' = 9x^2 - 1$.

Найдем критические точки: $9x^2 - 1 = 0 \implies 9x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{9} \implies x_1 = -\frac{1}{3}, x_2 = \frac{1}{3}$.

Обе критические точки $x = -1/3$ и $x = 1/3$ принадлежат заданному промежутку $[-2; 3]$.

Вычислим значения функции в критических точках и на концах промежутка: в точках $x=-2, x=-1/3, x=1/3, x=3$.

$f(-2) = 3(-2)^3 - (-2) + 1 = 3(-8) + 2 + 1 = -24 + 3 = -21$

$f(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{3})^3 - (-\frac{1}{3}) + 1 = 3(-\frac{1}{27}) + \frac{1}{3} + 1 = -\frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{9}{9} = \frac{11}{9}$

$f(\frac{1}{3}) = 3(\frac{1}{3})^3 - \frac{1}{3} + 1 = 3(\frac{1}{27}) - \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{9}{9} = \frac{7}{9}$

$f(3) = 3(3)^3 - 3 + 1 = 3(27) - 2 = 81 - 2 = 79$

Сравнивая полученные значения ($-21, 11/9, 7/9, 79$), находим, что наименьшее значение равно -21, а наибольшее — 79.

Ответ: наименьшее значение $f_{min} = -21$, наибольшее значение $f_{max} = 79$.