Номер 14, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14. Найдите производную сложной функции:

а) $f(x) = (x^3 - 6)^{110}$;

б) $f(x) = \sqrt{x^2 - x + 2}$;

в) $f(x) = \sin^5(6x - 1)$;

г) $f(x) = 2 \cos^4\left(\frac{\pi}{3} - x^4\right)$.

а) Дана функция $f(x) = (x^3 - 6)^{110}$.

Для нахождения производной этой сложной функции воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции и цепным правилом. Пусть $u(x) = x^3 - 6$, тогда $f(x) = u(x)^{110}$.

Производная сложной функции находится по формуле: $f'(x) = (u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

Сначала найдем производную внутренней функции $u(x)$:

$u'(x) = (x^3 - 6)' = 3x^2$.

Теперь применим формулу для производной сложной функции:

$f'(x) = 110 \cdot (x^3 - 6)^{110-1} \cdot u'(x) = 110 \cdot (x^3 - 6)^{109} \cdot 3x^2$.

Упростим полученное выражение:

$f'(x) = 330x^2(x^3 - 6)^{109}$.

Ответ: $f'(x) = 330x^2(x^3 - 6)^{109}$.

б) Дана функция $f(x) = \sqrt{x^2 - x + 2}$.

Представим корень как степень $1/2$: $f(x) = (x^2 - x + 2)^{1/2}$.

Это сложная функция, где внешняя функция — это $u^{1/2}$, а внутренняя — $u(x) = x^2 - x + 2$.

Используем то же цепное правило: $f'(x) = (\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$.

Находим производную внутренней функции:

$u'(x) = (x^2 - x + 2)' = 2x - 1$.

Подставляем в формулу производной сложной функции:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - x + 2}} \cdot (2x - 1)$.

Запишем результат в виде одной дроби:

$f'(x) = \frac{2x - 1}{2\sqrt{x^2 - x + 2}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2x - 1}{2\sqrt{x^2 - x + 2}}$.

в) Дана функция $f(x) = \sin^5(6x - 1)$.

Эту функцию можно представить как $f(x) = (\sin(6x - 1))^5$.

Это многоуровневая сложная функция. Применим цепное правило последовательно. Пусть $v=6x-1$, $u=\sin(v)$, тогда $f(x)=u^5$.

$f'(x) = (u^5)' \cdot u'_v \cdot v'_x$.

1. Производная внешней степенной функции: $(u^5)' = 5u^4 = 5(\sin(6x-1))^4 = 5\sin^4(6x-1)$.

2. Производная средней тригонометрической функции: $(\sin(v))' = \cos(v) = \cos(6x-1)$.

3. Производная внутренней линейной функции: $(6x-1)' = 6$.

Теперь перемножим все найденные производные:

$f'(x) = 5\sin^4(6x-1) \cdot \cos(6x-1) \cdot 6$.

Упростим выражение:

$f'(x) = 30\sin^4(6x-1)\cos(6x-1)$.

Ответ: $f'(x) = 30\sin^4(6x-1)\cos(6x-1)$.

г) Дана функция $f(x) = 2\cos^4(\frac{\pi}{3} - x^4)$.

Представим функцию как $f(x) = 2(\cos(\frac{\pi}{3} - x^4))^4$.

Это также многоуровневая сложная функция с постоянным множителем 2. Пусть $v = \frac{\pi}{3} - x^4$, $u = \cos(v)$, тогда $f(x) = 2u^4$.

Применяем цепное правило, вынеся константу за знак производной: $f'(x) = 2 \cdot (u^4)' \cdot u'_v \cdot v'_x$.

1. Производная внешней степенной функции: $(u^4)' = 4u^3 = 4(\cos(\frac{\pi}{3} - x^4))^3 = 4\cos^3(\frac{\pi}{3} - x^4)$.

2. Производная средней тригонометрической функции: $(\cos(v))' = -\sin(v) = -\sin(\frac{\pi}{3} - x^4)$.

3. Производная внутренней функции: $(\frac{\pi}{3} - x^4)' = 0 - 4x^3 = -4x^3$.

Перемножим все компоненты, включая константу 2:

$f'(x) = 2 \cdot [4\cos^3(\frac{\pi}{3} - x^4)] \cdot [-\sin(\frac{\pi}{3} - x^4)] \cdot [-4x^3]$.

Упростим, перемножая числовые коэффициенты и учитывая знаки:

$f'(x) = (2 \cdot 4 \cdot (-1) \cdot (-4)) \cdot x^3 \cos^3(\frac{\pi}{3} - x^4)\sin(\frac{\pi}{3} - x^4)$.

$f'(x) = 32x^3\cos^3(\frac{\pi}{3} - x^4)\sin(\frac{\pi}{3} - x^4)$.

Ответ: $f'(x) = 32x^3\cos^3(\frac{\pi}{3} - x^4)\sin(\frac{\pi}{3} - x^4)$.