Номер 9, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9. Вычислите производную функции:

a) $f(x) = \frac{1}{7}x^7 + \cos x;$

б) $f(x) = \frac{1}{12}x^6 - \sin x;$

в) $f(x) = x^6 \cdot (x^4 - 1);$

г) $f(x) = x^{11} \cdot (x^7 + 2);$

д) $f(x) = \frac{2}{x^8} - x^8;$

е) $f(x) = \frac{3}{x^3} + \frac{3}{x^5}.$

а) Чтобы найти производную функции $f(x) = \frac{1}{7}x^7 + \cos x$, воспользуемся правилом дифференцирования суммы и таблицей производных основных элементарных функций.

Производная суммы функций равна сумме производных этих функций: $(u+v)' = u' + v'$.

$f'(x) = (\frac{1}{7}x^7 + \cos x)' = (\frac{1}{7}x^7)' + (\cos x)'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

Производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

$(\frac{1}{7}x^7)' = \frac{1}{7} \cdot (x^7)' = \frac{1}{7} \cdot 7x^{7-1} = x^6$.

Производная функции косинус: $(\cos x)' = -\sin x$.

Складываем полученные производные:

$f'(x) = x^6 - \sin x$.

Ответ: $x^6 - \sin x$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{1}{12}x^6 - \sin x$.

Используем правило дифференцирования разности: $(u-v)' = u' - v'$.

$f'(x) = (\frac{1}{12}x^6 - \sin x)' = (\frac{1}{12}x^6)' - (\sin x)'$.

Находим производную первого слагаемого, используя правило для степенной функции и вынесение константы:

$(\frac{1}{12}x^6)' = \frac{1}{12} \cdot (x^6)' = \frac{1}{12} \cdot 6x^{6-1} = \frac{6}{12}x^5 = \frac{1}{2}x^5$.

Находим производную второго слагаемого: $(\sin x)' = \cos x$.

Вычитаем вторую производную из первой:

$f'(x) = \frac{1}{2}x^5 - \cos x$.

Ответ: $\frac{1}{2}x^5 - \cos x$.

в) Дана функция $f(x) = x^6 \cdot (x^4 - 1)$.

Для упрощения вычисления сначала раскроем скобки:

$f(x) = x^6 \cdot x^4 - x^6 \cdot 1 = x^{10} - x^6$.

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования разности и правило для степенной функции:

$f'(x) = (x^{10} - x^6)' = (x^{10})' - (x^6)'$.

$(x^{10})' = 10x^{10-1} = 10x^9$.

$(x^6)' = 6x^{6-1} = 6x^5$.

Таким образом, производная равна:

$f'(x) = 10x^9 - 6x^5$.

Ответ: $10x^9 - 6x^5$.

г) Дана функция $f(x) = x^{11} \cdot (x^7 + 2)$.

Сначала раскроем скобки, чтобы упростить функцию:

$f(x) = x^{11} \cdot x^7 + x^{11} \cdot 2 = x^{18} + 2x^{11}$.

Теперь найдем производную как сумму производных:

$f'(x) = (x^{18} + 2x^{11})' = (x^{18})' + (2x^{11})'$.

Используем правило для степенной функции:

$(x^{18})' = 18x^{18-1} = 18x^{17}$.

$(2x^{11})' = 2 \cdot 11x^{11-1} = 22x^{10}$.

Складываем результаты:

$f'(x) = 18x^{17} + 22x^{10}$.

Ответ: $18x^{17} + 22x^{10}$.

д) Дана функция $f(x) = \frac{2}{x^8} - x^8$.

Для удобства дифференцирования представим первое слагаемое в виде степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$.

$f(x) = 2x^{-8} - x^8$.

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования разности и правило для степенной функции:

$f'(x) = (2x^{-8} - x^8)' = (2x^{-8})' - (x^8)'$.

$(2x^{-8})' = 2 \cdot (-8)x^{-8-1} = -16x^{-9}$.

$(x^8)' = 8x^{8-1} = 8x^7$.

Вычитаем вторую производную из первой:

$f'(x) = -16x^{-9} - 8x^7$.

Запишем результат с положительными степенями:

$f'(x) = -\frac{16}{x^9} - 8x^7$.

Ответ: $-\frac{16}{x^9} - 8x^7$.

е) Дана функция $f(x) = \frac{3}{x^3} + \frac{3}{x^5}$.

Представим слагаемые в виде степеней с отрицательными показателями:

$f(x) = 3x^{-3} + 3x^{-5}$.

Найдем производную как сумму производных:

$f'(x) = (3x^{-3} + 3x^{-5})' = (3x^{-3})' + (3x^{-5})'$.

Применим правило дифференцирования степенной функции:

$(3x^{-3})' = 3 \cdot (-3)x^{-3-1} = -9x^{-4}$.

$(3x^{-5})' = 3 \cdot (-5)x^{-5-1} = -15x^{-6}$.

Складываем результаты:

$f'(x) = -9x^{-4} - 15x^{-6}$.

Запишем ответ с положительными степенями:

$f'(x) = -\frac{9}{x^4} - \frac{15}{x^6}$.

Ответ: $-\frac{9}{x^4} - \frac{15}{x^6}$.