Номер 17, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17. Вычислите приближенное значение корня:

а) $ \sqrt{1,006} $;

б) $ \sqrt{24,84} $;

в) $ \sqrt{99,5} $;

г) $ \sqrt{1,3} $.

Для вычисления приближенного значения корня воспользуемся формулой приближенного вычисления значения функции с помощью её дифференциала. Эта формула, также известная как формула линейного приближения, имеет вид: $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ или $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$.

В данном задании мы работаем с функцией $f(x) = \sqrt{x}$. Её производная равна $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Таким образом, формула для приближенного вычисления квадратного корня принимает вид: $\sqrt{x_0 + \Delta x} \approx \sqrt{x_0} + \frac{1}{2\sqrt{x_0}}\Delta x$. В этой формуле $x_0$ — это число, близкое к исходному подкоренному выражению, для которого легко вычисляется точное значение корня (точный квадрат), а $\Delta x = x - x_0$ — это малое приращение.

а) Для вычисления $\sqrt{1.006}$ положим $x = 1.006$. В качестве опорной точки $x_0$ выберем ближайший точный квадрат, то есть $x_0 = 1$. Тогда приращение $\Delta x = 1.006 - 1 = 0.006$. Подставляем эти значения в нашу формулу:$\sqrt{1.006} = \sqrt{1 + 0.006} \approx \sqrt{1} + \frac{1}{2\sqrt{1}} \cdot 0.006 = 1 + \frac{1}{2} \cdot 0.006 = 1 + 0.003 = 1.003$.Ответ: $1.003$.

б) Для вычисления $\sqrt{24.84}$ положим $x = 24.84$. Ближайший точный квадрат — это $25$, поэтому выберем $x_0 = 25$. Приращение $\Delta x = 24.84 - 25 = -0.16$. Применяем формулу:$\sqrt{24.84} = \sqrt{25 + (-0.16)} \approx \sqrt{25} + \frac{1}{2\sqrt{25}} \cdot (-0.16) = 5 + \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (-0.16) = 5 + \frac{1}{10} \cdot (-0.16) = 5 - 0.016 = 4.984$.Ответ: $4.984$.

в) Для вычисления $\sqrt{99.5}$ положим $x = 99.5$. Ближайший точный квадрат — это $100$, так что $x_0 = 100$. Приращение $\Delta x = 99.5 - 100 = -0.5$. Подставляем в формулу:$\sqrt{99.5} = \sqrt{100 + (-0.5)} \approx \sqrt{100} + \frac{1}{2\sqrt{100}} \cdot (-0.5) = 10 + \frac{1}{2 \cdot 10} \cdot (-0.5) = 10 + \frac{1}{20} \cdot (-0.5) = 10 - 0.025 = 9.975$.Ответ: $9.975$.

г) Для вычисления $\sqrt{1.3}$ положим $x = 1.3$. Ближайший точный квадрат — это $1$, поэтому $x_0 = 1$. Приращение $\Delta x = 1.3 - 1 = 0.3$. Используем формулу:$\sqrt{1.3} = \sqrt{1 + 0.3} \approx \sqrt{1} + \frac{1}{2\sqrt{1}} \cdot 0.3 = 1 + \frac{1}{2} \cdot 0.3 = 1 + 0.15 = 1.15$.Ответ: $1.15$.