Номер 6, страница 139 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6. По заданному закону распределения случайной величины найдите $M(X)$, $D(X)$, $\sigma(X)$ (табл. 56):

Таблица 56

X: 3, 4, 7, 9, 18

P: 0,1, 0,2, 0,4, 0,2, 0,1

A) $M(X) = 6,7$, $D(X) = 6,61$, $\sigma(X) \approx 2,57$;

B) $M(X) = 6$, $D(X) = 5$, $\sigma(X) \approx \sqrt{5}$;

C) $M(X) = 6,61$, $D(X) = 6,7$, $\sigma(X) = 2,57$;

D) $M(X) = 6$, $D(X) = 4$, $\sigma(X) = 2$.

Для решения задачи последовательно найдем математическое ожидание $M(X)$, дисперсию $D(X)$ и среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$ для заданной дискретной случайной величины.

M(X)

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле суммы произведений всех её возможных значений на их вероятности:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Подставим значения из таблицы распределения:

$M(X) = 3 \cdot 0,1 + 4 \cdot 0,2 + 7 \cdot 0,4 + 9 \cdot 0,2 + 18 \cdot 0,1$

$M(X) = 0,3 + 0,8 + 2,8 + 1,8 + 1,8 = 7,5$

Ответ: $M(X) = 7,5$.

D(X)

Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса её значений. Для её вычисления воспользуемся формулой:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

Сначала необходимо найти математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$

$M(X^2) = 3^2 \cdot 0,1 + 4^2 \cdot 0,2 + 7^2 \cdot 0,4 + 9^2 \cdot 0,2 + 18^2 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 9 \cdot 0,1 + 16 \cdot 0,2 + 49 \cdot 0,4 + 81 \cdot 0,2 + 324 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 0,9 + 3,2 + 19,6 + 16,2 + 32,4 = 72,3$

Теперь, зная $M(X^2)$ и $M(X)$, вычислим дисперсию:

$D(X) = 72,3 - (7,5)^2 = 72,3 - 56,25 = 16,05$

Ответ: $D(X) = 16,05$.

σ(X)

Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

Подставим найденное значение дисперсии:

$\sigma(X) = \sqrt{16,05} \approx 4,0062$

Округляя до сотых, получаем:

$\sigma(X) \approx 4,01$

Ответ: $\sigma(X) \approx 4,01$.

Сравнивая полученные результаты ($M(X) = 7,5$, $D(X) = 16,05$, $\sigma(X) \approx 4,01$) с предложенными вариантами ответа, можно заключить, что ни один из вариантов A, B, C, D не является правильным для заданного в таблице закона распределения. Вероятнее всего, в условии задачи или в вариантах ответов допущена ошибка.