Страница 133 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

254. a) $f(x) = 2 \cos x, M \left(\frac{\pi}{2}; 0\right);$

б) $f(x) = -\operatorname{tg} x, M (\pi; 0);$

в) $f(x) = 1 + \sin x, M (\pi; 1);$

г) $f(x) = -\cos x, M (-\pi; 1).$

а)Для нахождения уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ используется формула: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
В данном случае, функция $f(x) = 2 \cos x$ и точка $M(\frac{\pi}{2}; 0)$, следовательно, $x_0 = \frac{\pi}{2}$.
1. Найдём значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(\frac{\pi}{2}) = 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 0 = 0$.
2. Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (2 \cos x)' = -2 \sin x$.
3. Найдём значение производной в точке $x_0$ (угловой коэффициент касательной):
$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{2}) = -2 \sin(\frac{\pi}{2}) = -2 \cdot 1 = -2$.
4. Подставим найденные значения $x_0$, $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в формулу уравнения касательной:
$y = 0 + (-2)(x - \frac{\pi}{2})$
$y = -2x + \pi$.
Ответ: $y = -2x + \pi$.

б)Дана функция $f(x) = -\tg x$ и точка $M(\pi; 0)$, следовательно, $x_0 = \pi$.
1. Найдём значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(\pi) = -\tg(\pi) = 0$.
2. Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (-\tg x)' = -\frac{1}{\cos^2 x}$.
3. Найдём значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(\pi) = -\frac{1}{\cos^2(\pi)} = -\frac{1}{(-1)^2} = -1$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:
$y = 0 + (-1)(x - \pi)$
$y = -x + \pi$.
Ответ: $y = -x + \pi$.

в)Дана функция $f(x) = 1 + \sin x$ и точка $M(\pi; 1)$, следовательно, $x_0 = \pi$.
1. Найдём значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(\pi) = 1 + \sin(\pi) = 1 + 0 = 1$.
2. Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (1 + \sin x)' = \cos x$.
3. Найдём значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(\pi) = \cos(\pi) = -1$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:
$y = 1 + (-1)(x - \pi)$
$y = 1 - x + \pi$.
Ответ: $y = 1 - x + \pi$.

г)Дана функция $f(x) = -\cos x$ и точка $M(-\pi; 1)$, следовательно, $x_0 = -\pi$.
1. Найдём значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(-\pi) = -\cos(-\pi) = -\cos(\pi) = -(-1) = 1$.
2. Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$.
3. Найдём значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(-\pi) = \sin(-\pi) = 0$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:
$y = 1 + 0 \cdot (x - (-\pi))$
$y = 1 + 0$
$y = 1$.
Ответ: $y = 1$.