Страница 129 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Решите неравенства (248–249).

248.—

а) $x^4 - 10x^2 + 9 \leq 0;$

б) $x^4 - 8 \geq 7x^2;$

в) $x^4 - 5x^2 + 6 > 0;$

г) $5x^2 - 4 > x^4.$

а) $x^4 - 10x^2 + 9 \le 0$

Данное неравенство является биквадратным. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

После замены неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$t^2 - 10t + 9 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. Используя теорему Виета, получаем, что сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Следовательно, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.

Графиком функции $y = t^2 - 10t + 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями. Таким образом, решение неравенства для $t$:

$1 \le t \le 9$

Это решение удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $x^2$ вместо $t$:

$1 \le x^2 \le 9$

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 \ge 1 \\ x^2 \le 9 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 \ge 1 \Rightarrow x^2 - 1 \ge 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) \ge 0$. Решением является объединение промежутков $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 \le 9 \Rightarrow x^2 - 9 \le 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) \le 0$. Решением является отрезок $[-3, 3]$.

Итоговое решение для $x$ является пересечением решений этих двух неравенств: $[-3, 3] \cap ((-\infty, -1] \cup [1, \infty))$.

Пересечение дает нам два отрезка: $[-3, -1]$ и $[1, 3]$.

Ответ: $x \in [-3, -1] \cup [1, 3]$.

б) $x^4 - 8 \ge 7x^2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$x^4 - 7x^2 - 8 \ge 0$

Введем замену переменной $t = x^2$, где $t \ge 0$.

$t^2 - 7t - 8 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 7t - 8 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(1)(-8) = 49 + 32 = 81 = 9^2$

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 9}{2}$

Корни: $t_1 = \frac{7+9}{2} = 8$ и $t_2 = \frac{7-9}{2} = -1$.

Парабола $y = t^2 - 7t - 8$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому значения функции не отрицательны (больше или равны нулю) при $t \le -1$ или $t \ge 8$.

Учитывая ограничение $t \ge 0$, из найденных решений нам подходит только $t \ge 8$ (так как $t \le -1$ не удовлетворяет $t \ge 0$).

Выполним обратную замену:

$x^2 \ge 8$

Это неравенство равносильно $x^2 - 8 \ge 0$, или $(x-\sqrt{8})(x+\sqrt{8}) \ge 0$.

Упростив корень, получаем $(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2}) \ge 0$.

Решением этого неравенства является объединение промежутков $(-\infty, -2\sqrt{2}] \cup [2\sqrt{2}, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2\sqrt{2}] \cup [2\sqrt{2}, \infty)$.

в) $x^4 - 5x^2 + 6 > 0$

Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):

$t^2 - 5t + 6 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Парабола $y = t^2 - 5t + 6$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями: $t < 2$ или $t > 3$.

С учетом условия $t \ge 0$, получаем два случая для $t$:

1) $0 \le t < 2$

2) $t > 3$

Выполним обратную замену для каждого случая:

1) $0 \le x^2 < 2$. Неравенство $x^2 \ge 0$ верно для всех $x$. Решаем $x^2 < 2 \Rightarrow x^2 - 2 < 0 \Rightarrow (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) < 0$. Решение: $x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

2) $x^2 > 3$. Решаем $x^2 - 3 > 0 \Rightarrow (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) > 0$. Решение: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$.

Общее решение является объединением решений этих двух случаев.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$.

г) $5x^2 - 4 > x^4$

Перепишем неравенство в стандартном виде:

$x^4 - 5x^2 + 4 < 0$

Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):

$t^2 - 5t + 4 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Парабола $y = t^2 - 5t + 4$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $t$ находится между корнями:

$1 < t < 4$

Данный интервал удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

$1 < x^2 < 4$

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} x^2 > 1 \\ x^2 < 4 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 > 1 \Rightarrow x^2 - 1 > 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) > 0$. Решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 < 4 \Rightarrow x^2 - 4 < 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) < 0$. Решение: $x \in (-2, 2)$.

Найдем пересечение этих решений: $ ((-2, 2)) \cap ((-\infty, -1) \cup (1, \infty))$.

Пересечение дает объединение двух интервалов: $(-2, -1)$ и $(1, 2)$.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (1, 2)$.

249.-

a) $(x^2 - 1) (x + 4) (x^3 - 8) \leq 0;$

б) $\sqrt{x^2 - 4} (x - 3) < 0;$

в) $x^2 (3 - x) (x + 2) > 0;$

г) $\frac{(x - 2)^3 (x + 5)}{(x + 3)^2} \geq 0.$

а) $(x^2 - 1)(x + 4)(x^3 - 8) \le 0$

Решим неравенство методом интервалов. Для этого разложим левую часть на множители.

1. Разложим каждый множитель на более простые:
• $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ (разность квадратов).
• $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ (разность кубов).

2. Подставим разложенные множители в исходное неравенство:
$(x - 1)(x + 1)(x + 4)(x - 2)(x^2 + 2x + 4) \le 0$

3. Проанализируем множитель $x^2 + 2x + 4$. Найдем его дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 4$ положителен при любых значениях $x$.

4. Поскольку $x^2 + 2x + 4 > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на этот множитель, не меняя знака неравенства:
$(x - 1)(x + 1)(x + 4)(x - 2) \le 0$

5. Найдем нули левой части: $x=1, x=-1, x=-4, x=2$. Отметим эти точки на числовой прямой в порядке возрастания: -4, -1, 1, 2.

6. Определим знаки выражения на каждом из полученных интервалов:
• При $x > 2$ (например, $x=3$): $(+)(+)(+)(+) = +$.
• При $x \in (1, 2)$: $(+)(+)(+)(-) = -$.
• При $x \in (-1, 1)$: $(-)(+)(+)(-) = +$.
• При $x \in (-4, -1)$: $(-)(-)(+)(-) = -$.
• При $x < -4$ (например, $x=-5$): $(-)(-)(-)(-) = +$.

7. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервалы со знаком "минус", включая концы интервалов.
Ответ: $x \in [-4, -1] \cup [1, 2]$.

б) $\sqrt{x^2 - 4}(x - 3) < 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x^2 - 4 \ge 0$
$(x - 2)(x + 2) \ge 0$
Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

2. Произведение двух множителей отрицательно. Первый множитель $\sqrt{x^2 - 4}$ по определению неотрицателен ($\ge 0$).

3. Чтобы произведение было строго меньше нуля, необходимо, чтобы один множитель был строго больше нуля, а другой — строго меньше нуля.
Так как $\sqrt{x^2 - 4} \ge 0$, для выполнения неравенства требуется одновременное выполнение двух условий:
• $\sqrt{x^2 - 4} > 0$, что равносильно $x^2 - 4 > 0$.
• $x - 3 < 0$.

4. Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x - 3 < 0 \end{cases}$
Из первого неравенства получаем $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
Из второго неравенства получаем $x < 3$, или $x \in (-\infty, 3)$.

5. Найдем пересечение полученных решений:
$(-\infty, -2) \cup (2, \infty)) \cap (-\infty, 3)$.
Пересечением является объединение интервалов $(-\infty, -2)$ и $(2, 3)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, 3)$.

в) $x^2 (3 - x) (x + 2) > 0$

1. Для удобства приведем множитель $(3-x)$ к стандартному виду $(x-k)$, вынеся минус за скобку:
$x^2 (-(x - 3))(x + 2) > 0$
$-x^2(x - 3)(x + 2) > 0$

2. Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$x^2(x - 3)(x + 2) < 0$

3. Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули левой части:
$x=0$ (кратность 2, четная), $x=3$ (кратность 1, нечетная), $x=-2$ (кратность 1, нечетная).

4. Отметим точки -2, 0, 3 на числовой прямой и определим знаки выражения на интервалах. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.
• При $x > 3$: $(+)(+)(+) = +$.
• При переходе через корень $x=3$ (нечетной кратности) знак меняется: $-$.
• При переходе через корень $x=0$ (четной кратности) знак не меняется: $-$.
• При переходе через корень $x=-2$ (нечетной кратности) знак меняется: $+$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -2): +$; $(-2, 0): -$; $(0, 3): -$; $(3, \infty): +$.

5. Нам нужны значения $x$, при которых выражение строго меньше нуля. Это интервалы со знаком "минус".
Объединяем интервалы $(-2, 0)$ и $(0, 3)$.
Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (0, 3)$.

г) $\frac{(x-2)^3 (x+5)}{(x+3)^2} \ge 0$

1. Решим неравенство методом интервалов.
ОДЗ: знаменатель не равен нулю, т.е. $(x+3)^2 \neq 0 \implies x \neq -3$.

2. Найдем нули числителя: $(x-2)^3(x+5)=0 \implies x=2$ и $x=-5$. Эти точки входят в решение, так как неравенство нестрогое.

3. Найдем нули знаменателя: $(x+3)^2=0 \implies x=-3$. Эта точка исключается из решения (выколотая точка).

4. Определим кратность корней:
• $x=2$ (кратность 3, нечетная).
• $x=-5$ (кратность 1, нечетная).
• $x=-3$ (кратность 2, четная).

5. Отметим точки -5, -3, 2 на числовой прямой. Точки -5 и 2 закрашенные, точка -3 выколотая. Определим знаки дроби на интервалах.
• При $x > 2$: $\frac{(+)(+)}{(+)} = +$.
• При переходе через $x=2$ (нечетная кратность) знак меняется: $-$.
• При переходе через $x=-3$ (четная кратность) знак не меняется: $-$.
• При переходе через $x=-5$ (нечетная кратность) знак меняется: $+$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -5): +$; $(-5, -3): -$; $(-3, 2): -$; $(2, \infty): +$.

6. Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "плюс", а также нули числителя.
Получаем интервалы $(-\infty, -5]$ и $[2, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [2, \infty)$.

250. Найдите область определения функции:

а) $f(x) = \sqrt{9x - x^3};$

б) $f(x) = \sqrt{x^2 - \frac{8}{x}};$

в) $f(x) = \sqrt{16x - x^3};$

г) $f(x) = \sqrt{1 - \frac{27}{x^3}}.$

а) Область определения функции $f(x) = \sqrt{9x - x^3}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$9x - x^3 \ge 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(9 - x^2) \ge 0$
Разложим на множители разность квадратов:
$x(3 - x)(3 + x) \ge 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни выражения $x(3 - x)(3 + x)$: $x_1 = -3$, $x_2 = 0$, $x_3 = 3$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty, -3]$, $[-3, 0]$, $[0, 3]$, $[3, +\infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, -3)$ (например, $x=-4$): $(-4)(3 - (-4))(3 + (-4)) = (-4)(7)(-1) = 28 > 0$. Интервал подходит.
- При $x \in (-3, 0)$ (например, $x=-1$): $(-1)(3 - (-1))(3 + (-1)) = (-1)(4)(2) = -8 < 0$. Интервал не подходит.
- При $x \in (0, 3)$ (например, $x=1$): $(1)(3 - 1)(3 + 1) = (1)(2)(4) = 8 > 0$. Интервал подходит.
- При $x \in (3, +\infty)$ (например, $x=4$): $(4)(3 - 4)(3 + 4) = (4)(-1)(7) = -28 < 0$. Интервал не подходит.
Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки $x = -3$, $x = 0$ и $x = 3$ включаются в решение.
Объединяя подходящие интервалы, получаем область определения.
Ответ: $D(f) = (-\infty, -3] \cup [0, 3]$.

б) Область определения функции $f(x) = \sqrt{x^2 - \frac{8}{x}}$ находится из двух условий:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - \frac{8}{x} \ge 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x \ne 0$.
Решим неравенство, приведя выражение к общему знаменателю:
$\frac{x^3 - 8}{x} \ge 0$
Решим это неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя: $x^3 - 8 = 0 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$.
Найдем нули знаменателя: $x = 0$. Эта точка будет выколотой, так как на ноль делить нельзя.
Отметим точки $x=0$ и $x=2$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 2]$, $[2, +\infty)$.
Определим знак дроби $\frac{x^3 - 8}{x}$ на каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, 0)$ (например, $x=-1$): $\frac{(-1)^3 - 8}{-1} = \frac{-9}{-1} = 9 > 0$. Интервал подходит.
- При $x \in (0, 2)$ (например, $x=1$): $\frac{1^3 - 8}{1} = -7 < 0$. Интервал не подходит.
- При $x \in (2, +\infty)$ (например, $x=3$): $\frac{3^3 - 8}{3} = \frac{19}{3} > 0$. Интервал подходит.
Точка $x=2$ является решением (неравенство нестрогое), а точка $x=0$ не является решением.
Объединяя подходящие интервалы, получаем область определения.
Ответ: $D(f) = (-\infty, 0) \cup [2, +\infty)$.

в) Область определения функции $f(x) = \sqrt{16x - x^3}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$16x - x^3 \ge 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(16 - x^2) \ge 0$
Разложим на множители разность квадратов:
$x(4 - x)(4 + x) \ge 0$
Решим неравенство методом интервалов. Корни выражения: $x_1 = -4$, $x_2 = 0$, $x_3 = 4$.
Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, -4]$, $[-4, 0]$, $[0, 4]$, $[4, +\infty)$.
Определим знак выражения $x(4 - x)(4 + x)$ на каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, -4)$ (например, $x=-5$): $(-5)(4 - (-5))(4 + (-5)) = (-5)(9)(-1) = 45 > 0$. Интервал подходит.
- При $x \in (-4, 0)$ (например, $x=-1$): $(-1)(4 - (-1))(4 + (-1)) = (-1)(5)(3) = -15 < 0$. Интервал не подходит.
- При $x \in (0, 4)$ (например, $x=1$): $(1)(4 - 1)(4 + 1) = (1)(3)(5) = 15 > 0$. Интервал подходит.
- При $x \in (4, +\infty)$ (например, $x=5$): $(5)(4 - 5)(4 + 5) = (5)(-1)(9) = -45 < 0$. Интервал не подходит.
Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки $x = -4$, $x = 0$ и $x = 4$ включаются в решение.
Объединяя подходящие интервалы, получаем область определения.
Ответ: $D(f) = (-\infty, -4] \cup [0, 4]$.

г) Область определения функции $f(x) = \sqrt{1 - \frac{27}{x^3}}$ находится из двух условий:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $1 - \frac{27}{x^3} \ge 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 0$.
Решим неравенство, приведя выражение к общему знаменателю:
$\frac{x^3 - 27}{x^3} \ge 0$
Решим это неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя: $x^3 - 27 = 0 \Rightarrow x^3 = 27 \Rightarrow x = 3$.
Найдем нули знаменателя: $x^3 = 0 \Rightarrow x = 0$. Эта точка будет выколотой.
Отметим точки $x=0$ и $x=3$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 3]$, $[3, +\infty)$.
Определим знак дроби $\frac{x^3 - 27}{x^3}$ на каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, 0)$ (например, $x=-1$): $\frac{(-1)^3 - 27}{(-1)^3} = \frac{-28}{-1} = 28 > 0$. Интервал подходит.
- При $x \in (0, 3)$ (например, $x=1$): $\frac{1^3 - 27}{1^3} = -26 < 0$. Интервал не подходит.
- При $x \in (3, +\infty)$ (например, $x=4$): $\frac{4^3 - 27}{4^3} = \frac{37}{64} > 0$. Интервал подходит.
Точка $x=3$ является решением (неравенство нестрогое), а точка $x=0$ не является решением.
Объединяя подходящие интервалы, получаем область определения.
Ответ: $D(f) = (-\infty, 0) \cup [3, +\infty)$.