Страница 136 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

261.— Вычислите с помощью формулы (1) приближенные значения функции $f$ в точках $x_1$ и $x_2$:

а) $f(x) = x^4 + 2x, x_1 = 2,016, x_2 = 0,97;$

б) $f(x) = x^5 - x^2, x_1 = 1,995, x_2 = 0,96;$

в) $f(x) = x^3 - x, x_1 = 3,02, x_2 = 0,92;$

г) $f(x) = x^2 + 3x, x_1 = 5,04, x_2 = 1,98.$

Для вычисления приближенных значений функции используется формула линейного приближения (касательной), которая, по-видимому, подразумевается под "формулой (1)":

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$

где $x_0$ — точка, близкая к точке $x = x_0 + \Delta x$, в которой легко вычислить значение функции и ее производной, а $\Delta x = x - x_0$ — малое приращение аргумента.

а) $f(x) = x^4 + 2x$, $x_1 = 2,016$, $x_2 = 0,97$.

Сначала найдем производную функции: $f'(x) = (x^4 + 2x)' = 4x^3 + 2$.

Для $x_1 = 2,016$ выберем опорную точку $x_0 = 2$. Тогда приращение $\Delta x = x_1 - x_0 = 2,016 - 2 = 0,016$.
Вычислим значения функции и производной в точке $x_0 = 2$:
$f(x_0) = f(2) = 2^4 + 2 \cdot 2 = 16 + 4 = 20$.
$f'(x_0) = f'(2) = 4 \cdot 2^3 + 2 = 4 \cdot 8 + 2 = 34$.
Подставим значения в формулу приближения:
$f(2,016) \approx f(2) + f'(2) \cdot \Delta x = 20 + 34 \cdot 0,016 = 20 + 0,544 = 20,544$.

Для $x_2 = 0,97$ выберем опорную точку $x_0 = 1$. Тогда приращение $\Delta x = x_2 - x_0 = 0,97 - 1 = -0,03$.
Вычислим значения функции и производной в точке $x_0 = 1$:
$f(x_0) = f(1) = 1^4 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3$.
$f'(x_0) = f'(1) = 4 \cdot 1^3 + 2 = 4 + 2 = 6$.
Подставим значения в формулу приближения:
$f(0,97) \approx f(1) + f'(1) \cdot \Delta x = 3 + 6 \cdot (-0,03) = 3 - 0,18 = 2,82$.

Ответ: $f(2,016) \approx 20,544$; $f(0,97) \approx 2,82$.

б) $f(x) = x^5 - x^2$, $x_1 = 1,995$, $x_2 = 0,96$.

Сначала найдем производную функции: $f'(x) = (x^5 - x^2)' = 5x^4 - 2x$.

Для $x_1 = 1,995$ выберем опорную точку $x_0 = 2$. Тогда $\Delta x = 1,995 - 2 = -0,005$.
$f(2) = 2^5 - 2^2 = 32 - 4 = 28$.
$f'(2) = 5 \cdot 2^4 - 2 \cdot 2 = 5 \cdot 16 - 4 = 80 - 4 = 76$.
$f(1,995) \approx f(2) + f'(2) \cdot \Delta x = 28 + 76 \cdot (-0,005) = 28 - 0,38 = 27,62$.

Для $x_2 = 0,96$ выберем опорную точку $x_0 = 1$. Тогда $\Delta x = 0,96 - 1 = -0,04$.
$f(1) = 1^5 - 1^2 = 1 - 1 = 0$.
$f'(1) = 5 \cdot 1^4 - 2 \cdot 1 = 5 - 2 = 3$.
$f(0,96) \approx f(1) + f'(1) \cdot \Delta x = 0 + 3 \cdot (-0,04) = -0,12$.

Ответ: $f(1,995) \approx 27,62$; $f(0,96) \approx -0,12$.

в) $f(x) = x^3 - x$, $x_1 = 3,02$, $x_2 = 0,92$.

Сначала найдем производную функции: $f'(x) = (x^3 - x)' = 3x^2 - 1$.

Для $x_1 = 3,02$ выберем опорную точку $x_0 = 3$. Тогда $\Delta x = 3,02 - 3 = 0,02$.
$f(3) = 3^3 - 3 = 27 - 3 = 24$.
$f'(3) = 3 \cdot 3^2 - 1 = 3 \cdot 9 - 1 = 26$.
$f(3,02) \approx f(3) + f'(3) \cdot \Delta x = 24 + 26 \cdot 0,02 = 24 + 0,52 = 24,52$.

Для $x_2 = 0,92$ выберем опорную точку $x_0 = 1$. Тогда $\Delta x = 0,92 - 1 = -0,08$.
$f(1) = 1^3 - 1 = 0$.
$f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 1 = 3 - 1 = 2$.
$f(0,92) \approx f(1) + f'(1) \cdot \Delta x = 0 + 2 \cdot (-0,08) = -0,16$.

Ответ: $f(3,02) \approx 24,52$; $f(0,92) \approx -0,16$.

г) $f(x) = x^2 + 3x$, $x_1 = 5,04$, $x_2 = 1,98$.

Сначала найдем производную функции: $f'(x) = (x^2 + 3x)' = 2x + 3$.

Для $x_1 = 5,04$ выберем опорную точку $x_0 = 5$. Тогда $\Delta x = 5,04 - 5 = 0,04$.
$f(5) = 5^2 + 3 \cdot 5 = 25 + 15 = 40$.
$f'(5) = 2 \cdot 5 + 3 = 10 + 3 = 13$.
$f(5,04) \approx f(5) + f'(5) \cdot \Delta x = 40 + 13 \cdot 0,04 = 40 + 0,52 = 40,52$.

Для $x_2 = 1,98$ выберем опорную точку $x_0 = 2$. Тогда $\Delta x = 1,98 - 2 = -0,02$.
$f(2) = 2^2 + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10$.
$f'(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$.
$f(1,98) \approx f(2) + f'(2) \cdot \Delta x = 10 + 7 \cdot (-0,02) = 10 - 0,14 = 9,86$.

Ответ: $f(5,04) \approx 40,52$; $f(1,98) \approx 9,86$.

Вычислите с помощью формулы (1) и (3) приближенные значения (262—263).

262. а) $1{,}002^{100}$;

б) $0{,}995^{6}$;

в) $1{,}03^{200}$;

г) $0{,}998^{20}$.

а) Для вычисления приближенного значения выражения $1.002^{100}$ воспользуемся формулой приближенного вычисления вида $(1+x)^n \approx 1+nx$. В данном случае основание степени можно представить как $1.002 = 1 + 0.002$. Таким образом, мы имеем $x=0.002$ и $n=100$. Подставим эти значения в формулу: $1.002^{100} = (1 + 0.002)^{100} \approx 1 + 100 \cdot 0.002 = 1 + 0.2 = 1.2$.

Ответ: $1.2$.

б) Для вычисления приближенного значения $0.995^6$ воспользуемся формулой вида $(1-x)^n \approx 1-nx$. Представим основание степени $0.995$ в виде $1 - 0.005$. В этом случае $x=0.005$ и $n=6$. Применим формулу с нашими значениями: $0.995^6 = (1 - 0.005)^6 \approx 1 - 6 \cdot 0.005 = 1 - 0.03 = 0.97$.

Ответ: $0.97$.

в) Для вычисления приближенного значения $1.03^{200}$ используем ту же формулу, что и в пункте а): $(1+x)^n \approx 1+nx$. Здесь основание степени $1.03 = 1 + 0.03$, следовательно $x=0.03$ и $n=200$. Подставляем значения в формулу приближения: $1.03^{200} = (1 + 0.03)^{200} \approx 1 + 200 \cdot 0.03 = 1 + 6 = 7$.

Ответ: $7$.

г) Для вычисления приближенного значения $0.998^{20}$ используем формулу из пункта б): $(1-x)^n \approx 1-nx$. Основание степени $0.998$ можно записать как $1 - 0.002$. Таким образом, $x=0.002$ и $n=20$. Произведем вычисление по формуле: $0.998^{20} = (1 - 0.002)^{20} \approx 1 - 20 \cdot 0.002 = 1 - 0.04 = 0.96$.

Ответ: $0.96$.

263. a) $\sqrt{1,004}$;б) $\sqrt{25,012}$;в) $\sqrt{0,997}$;г) $\sqrt{4,0016}$.

Для решения данных задач воспользуемся формулой приближенного вычисления значения функции с помощью дифференциала:

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$

В данном случае мы ищем приближенное значение квадратного корня, поэтому наша функция $f(x) = \sqrt{x}$.

Найдем производную этой функции: $f'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Таким образом, формула для приближенного вычисления квадратного корня будет выглядеть так:

$\sqrt{x_0 + \Delta x} \approx \sqrt{x_0} + \frac{1}{2\sqrt{x_0}} \cdot \Delta x$

Здесь $x_0$ — это число, близкое к подкоренному выражению, из которого легко извлекается квадратный корень, а $\Delta x$ — это малая разность между подкоренным выражением и $x_0$.

а) Найдем приближенное значение $\sqrt{1,004}$.

Представим подкоренное выражение в виде суммы: $1,004 = 1 + 0,004$.

Выберем $x_0 = 1$ (это ближайший к $1,004$ точный квадрат) и $\Delta x = 0,004$.

Теперь найдем значение функции и ее производной в точке $x_0 = 1$:

$f(x_0) = \sqrt{1} = 1$

$f'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2} = 0,5$

Подставим найденные значения в формулу приближения:

$\sqrt{1,004} \approx 1 + 0,5 \cdot 0,004 = 1 + 0,002 = 1,002$.

Ответ: $1,002$.

б) Найдем приближенное значение $\sqrt{25,012}$.

Представим подкоренное выражение в виде суммы: $25,012 = 25 + 0,012$.

Выберем $x_0 = 25$ и $\Delta x = 0,012$.

Найдем значение функции и ее производной в точке $x_0 = 25$:

$f(x_0) = \sqrt{25} = 5$

$f'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{25}} = \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10} = 0,1$

Подставим значения в формулу:

$\sqrt{25,012} \approx 5 + 0,1 \cdot 0,012 = 5 + 0,0012 = 5,0012$.

Ответ: $5,0012$.

в) Найдем приближенное значение $\sqrt{0,997}$.

Представим подкоренное выражение в виде $0,997 = 1 - 0,003$.

Выберем $x_0 = 1$ и $\Delta x = -0,003$.

Значение функции и ее производной в точке $x_0 = 1$ мы уже находили в пункте а):

$f(x_0) = \sqrt{1} = 1$

$f'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = 0,5$

Подставим значения в формулу:

$\sqrt{0,997} \approx 1 + 0,5 \cdot (-0,003) = 1 - 0,0015 = 0,9985$.

Ответ: $0,9985$.

г) Найдем приближенное значение $\sqrt{4,0016}$.

Представим подкоренное выражение в виде $4,0016 = 4 + 0,0016$.

Выберем $x_0 = 4$ и $\Delta x = 0,0016$.

Найдем значение функции и ее производной в точке $x_0 = 4$:

$f(x_0) = \sqrt{4} = 2$

$f'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} = 0,25$

Подставим значения в формулу:

$\sqrt{4,0016} \approx 2 + 0,25 \cdot 0,0016 = 2 + 0,0004 = 2,0004$.

Ответ: $2,0004$.

Вычислите с помощью формулы (1) приближенные значения (264—266).

264.—

a) $tg 44^\circ$;

б) $cos 61^\circ$;

в) $sin 31^\circ$;

г) $ctg 47^\circ$.

Для вычисления приближенных значений воспользуемся формулой линейного приближения функции, которая, по-видимому, имеется в виду под "формулой (1)". Эта формула является следствием разложения функции в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0$ и имеет вид:

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$

Здесь $x_0$ — это точка, близкая к искомому значению $x = x_0 + \Delta x$, в которой легко вычислить значение функции $f(x_0)$ и её производной $f'(x_0)$. Важно помнить, что приращение аргумента $\Delta x$ для тригонометрических функций должно быть выражено в радианах. Для перевода градусов в радианы используется соотношение $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ радиан. В расчетах будем использовать значение $\pi \approx 3.1416$.

а) tg 44°

Рассмотрим функцию $f(x) = \tan(x)$. В качестве опорной точки выберем $x_0 = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ радиан.Приращение аргумента $\Delta x = 44^\circ - 45^\circ = -1^\circ$.

Переведем $\Delta x$ в радианы:

$\Delta x = -1^\circ = -1 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{\pi}{180} \approx -0.01745$ радиан.

Находим производную функции: $f'(x) = (\tan(x))' = \frac{1}{\cos^2(x)}$.

Вычислим значения функции и её производной в точке $x_0 = 45^\circ$:

$f(x_0) = \tan(45^\circ) = 1$

$f'(x_0) = \frac{1}{\cos^2(45^\circ)} = \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{1}{2/4} = 2$

Теперь подставим все найденные значения в формулу приближения:

$\tan(44^\circ) \approx f(45^\circ) + f'(45^\circ) \cdot \Delta x = 1 + 2 \cdot (-\frac{\pi}{180}) = 1 - \frac{\pi}{90}$

$\tan(44^\circ) \approx 1 - \frac{3.1416}{90} \approx 1 - 0.0349 = 0.9651$

Ответ: $\tan(44^\circ) \approx 0.9651$

б) cos 61°

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos(x)$. В качестве опорной точки выберем $x_0 = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ радиан.Приращение аргумента $\Delta x = 61^\circ - 60^\circ = 1^\circ$.

Переведем $\Delta x$ в радианы:

$\Delta x = 1^\circ = \frac{\pi}{180} \approx 0.01745$ радиан.

Находим производную функции: $f'(x) = (\cos(x))' = -\sin(x)$.

Вычислим значения функции и её производной в точке $x_0 = 60^\circ$:

$f(x_0) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} = 0.5$

$f'(x_0) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.8660$

Подставим значения в формулу приближения:

$\cos(61^\circ) \approx f(60^\circ) + f'(60^\circ) \cdot \Delta x = \frac{1}{2} + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{\pi}{180} = 0.5 - \frac{\sqrt{3}\pi}{360}$

$\cos(61^\circ) \approx 0.5 - 0.8660 \cdot 0.01745 \approx 0.5 - 0.01511 \approx 0.4849$

Ответ: $\cos(61^\circ) \approx 0.4849$

в) sin 31°

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin(x)$. В качестве опорной точки выберем $x_0 = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$ радиан.Приращение аргумента $\Delta x = 31^\circ - 30^\circ = 1^\circ$.

Переведем $\Delta x$ в радианы:

$\Delta x = 1^\circ = \frac{\pi}{180} \approx 0.01745$ радиан.

Находим производную функции: $f'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$.

Вычислим значения функции и её производной в точке $x_0 = 30^\circ$:

$f(x_0) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} = 0.5$

$f'(x_0) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660$

Подставим значения в формулу приближения:

$\sin(31^\circ) \approx f(30^\circ) + f'(30^\circ) \cdot \Delta x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{180} = 0.5 + \frac{\sqrt{3}\pi}{360}$

$\sin(31^\circ) \approx 0.5 + 0.8660 \cdot 0.01745 \approx 0.5 + 0.01511 \approx 0.5151$

Ответ: $\sin(31^\circ) \approx 0.5151$

г) ctg 47°

Рассмотрим функцию $f(x) = \cot(x)$. В качестве опорной точки выберем $x_0 = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ радиан.Приращение аргумента $\Delta x = 47^\circ - 45^\circ = 2^\circ$.

Переведем $\Delta x$ в радианы:

$\Delta x = 2^\circ = 2 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{90} \approx 0.0349$ радиан.

Находим производную функции: $f'(x) = (\cot(x))' = -\frac{1}{\sin^2(x)}$.

Вычислим значения функции и её производной в точке $x_0 = 45^\circ$:

$f(x_0) = \cot(45^\circ) = 1$

$f'(x_0) = -\frac{1}{\sin^2(45^\circ)} = -\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = -\frac{1}{1/2} = -2$

Подставим значения в формулу приближения:

$\cot(47^\circ) \approx f(45^\circ) + f'(45^\circ) \cdot \Delta x = 1 + (-2) \cdot \frac{\pi}{90} = 1 - \frac{\pi}{45}$

$\cot(47^\circ) \approx 1 - \frac{3.1416}{45} \approx 1 - 0.0698 = 0.9302$

Ответ: $\cot(47^\circ) \approx 0.9302$

265. а) $\cos \left(\frac{\pi}{6}+0,04\right)$;

б) $\sin \left(\frac{\pi}{3}-0,02\right)$;

в) $\sin \left(\frac{\pi}{6}+0,03\right)$;

г) $\operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4}+0,05\right)$.

Для решения данных задач воспользуемся формулой приближенного вычисления с помощью дифференциала: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$. Эта формула основана на замене приращения функции ее дифференциалом и геометрически означает замену графика функции касательной в точке $(x_0, f(x_0))$.

а) Вычислим приближенное значение $ \cos(\frac{\pi}{6} + 0,04) $.

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos(x)$. В нашем случае точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$, а приращение аргумента $\Delta x = 0,04$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\cos(x))' = -\sin(x)$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.
4. Подставим найденные значения в формулу приближения:
$\cos(\frac{\pi}{6} + 0,04) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x = \frac{\sqrt{3}}{2} + (-\frac{1}{2}) \cdot 0,04 = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0,02$.
5. Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1,732$:
$\frac{1,732}{2} - 0,02 = 0,866 - 0,02 = 0,846$.
Ответ: $ \cos(\frac{\pi}{6} + 0,04) \approx 0,846 $.

б) Вычислим приближенное значение $ \sin(\frac{\pi}{3} - 0,02) $.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin(x)$. Точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$, приращение $\Delta x = -0,02$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
4. Подставим найденные значения в формулу приближения:
$\sin(\frac{\pi}{3} - 0,02) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (-0,02) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0,01$.
5. Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1,732$:
$\frac{1,732}{2} - 0,01 = 0,866 - 0,01 = 0,856$.
Ответ: $ \sin(\frac{\pi}{3} - 0,02) \approx 0,856 $.

в) Вычислим приближенное значение $ \sin(\frac{\pi}{6} + 0,03) $.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin(x)$. Точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$, приращение $\Delta x = 0,03$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} = 0,5$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Подставим найденные значения в формулу приближения:
$\sin(\frac{\pi}{6} + 0,03) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0,03$.
5. Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1,732$:
$0,5 + \frac{1,732}{2} \cdot 0,03 = 0,5 + 0,866 \cdot 0,03 = 0,5 + 0,02598 \approx 0,526$.
Ответ: $ \sin(\frac{\pi}{6} + 0,03) \approx 0,526 $.

г) Вычислим приближенное значение $ \tg(\frac{\pi}{4} + 0,05) $.

Рассмотрим функцию $f(x) = \tg(x)$. Точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$, приращение $\Delta x = 0,05$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = \tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\tg(x))' = \frac{1}{\cos^2(x)}$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{1}{2/4} = 2$.
4. Подставим найденные значения в формулу приближения:
$\tg(\frac{\pi}{4} + 0,05) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x = 1 + 2 \cdot 0,05 = 1 + 0,1 = 1,1$.
Ответ: $ \tg(\frac{\pi}{4} + 0,05) \approx 1,1 $.

266. a) $\frac{1}{1,003^{20}}$;

б) $\frac{1}{0,996^{40}}$;

в) $\frac{1}{2,0016^3}$;

г) $\frac{1}{0,994^5}$.

Для решения данных задач воспользуемся формулой приближенного вычисления, основанной на разложении в ряд Тейлора для функции $(1+x)^n$ при малых значениях $|x|$: $$(1+x)^n \approx 1 + nx$$ Эта формула также известна как формула биномиального приближения.

а)

Требуется вычислить приближенное значение выражения $\frac{1}{1,003^{20}}$.

Представим выражение в виде степени:

$$\frac{1}{1,003^{20}} = (1,003)^{-20}$$

Теперь преобразуем основание степени к виду $(1+x)$:

$$1,003 = 1 + 0,003$$

Таким образом, имеем выражение $(1 + 0,003)^{-20}$. Здесь $x = 0,003$ и $n = -20$. Так как $x$ - малое число, можем применить формулу биномиального приближения:

$$(1 + 0,003)^{-20} \approx 1 + (-20) \cdot 0,003 = 1 - 0,06 = 0,94$$

Ответ: $0,94$

б)

Требуется вычислить приближенное значение выражения $\frac{1}{0,996^{40}}$.

Представим выражение в виде степени:

$$\frac{1}{0,996^{40}} = (0,996)^{-40}$$

Преобразуем основание степени к виду $(1+x)$:

$$0,996 = 1 - 0,004 = 1 + (-0,004)$$

Таким образом, имеем выражение $(1 - 0,004)^{-40}$. Здесь $x = -0,004$ и $n = -40$. Применим формулу приближения:

$$(1 - 0,004)^{-40} \approx 1 + (-40) \cdot (-0,004) = 1 + 40 \cdot 0,004 = 1 + 0,16 = 1,16$$

Ответ: $1,16$

в)

Требуется вычислить приближенное значение выражения $\frac{1}{2,0016^{3}}$.

Представим выражение в виде степени: $(2,0016)^{-3}$.

В данном случае основание не близко к 1, поэтому сначала вынесем 2 за скобки:

$$2,0016 = 2 \cdot 1,0008 = 2 \cdot (1 + 0,0008)$$

Подставим это в исходное выражение:

$$(2 \cdot (1 + 0,0008))^{-3} = 2^{-3} \cdot (1 + 0,0008)^{-3} = \frac{1}{8} \cdot (1 + 0,0008)^{-3}$$

Теперь применим формулу приближения для множителя $(1 + 0,0008)^{-3}$, где $x = 0,0008$ и $n = -3$:

$$(1 + 0,0008)^{-3} \approx 1 + (-3) \cdot 0,0008 = 1 - 0,0024 = 0,9976$$

Теперь умножим результат на $\frac{1}{8}$:

$$\frac{1}{8} \cdot 0,9976 = 0,125 \cdot 0,9976 = 0,1247$$

Ответ: $0,1247$

г)

Требуется вычислить приближенное значение выражения $\frac{1}{0,994^{5}}$.

Представим выражение в виде степени:

$$\frac{1}{0,994^{5}} = (0,994)^{-5}$$

Преобразуем основание степени к виду $(1+x)$:

$$0,994 = 1 - 0,006 = 1 + (-0,006)$$

Таким образом, имеем выражение $(1 - 0,006)^{-5}$. Здесь $x = -0,006$ и $n = -5$. Применим формулу приближения:

$$(1 - 0,006)^{-5} \approx 1 + (-5) \cdot (-0,006) = 1 + 5 \cdot 0,006 = 1 + 0,03 = 1,03$$

Ответ: $1,03$